Lời giải Bài 5 Đề thi thử trường THPT chuyên Amtesdam Hà Nội

Lời giải bài 5:

Đề ra : 

Cho x , y > 0 .Chứng minh rằng :  $P=(1+x)(1+\frac{1}{y})+(1+y)(1+\frac{1}{x})\geq 4+3\sqrt{2}$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có :   $P=1+x+\frac{x}{y}+\frac{1}{y}+1+y+\frac{y}{x}+\frac{1}{x}$ 

<=>  $P=2+x+\frac{1}{2x}+y+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$

<=>  $P\geq 2+2\frac{1}{\sqrt{2}}+2\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{xy}}+2$

Mặt khác , ta có : $1=x^{2}+y^{2}\geq 2xy<=> \frac{1}{xy}\geq 2<=>\frac{1}{\sqrt{xy}}\geq \sqrt{2}$

=>  $P\geq 4+2\sqrt{2}+\sqrt{2}=4+3\sqrt{2}$

Dấu " = " xảy ra  <=>  $\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{2x},y=\frac{1}{2y},x^{2}+y^{2}=1 & \\ \frac{1}{x}=\frac{1}{y},\frac{x}{y}=\frac{y}{x},x=y & \end{matrix}\right.$

<=>   $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$ .