Lời giải Bài 4 Đề thi thử trường THPT chuyên Amtesdam Hà Nội

Lời giải bài 4:

Đề ra : 

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, hai tiếp tuyến Ax, By của (O) cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB. Tiếp tuyến tại M tùy ý của (O) cắt Ax, By lần lượt tại C, D ( $M\neq A,B$ ) .

a) Chứng minh tứ giác ACMO .

b) Chứng minh OC vuông góc OD và $AC.BD=R^{2}$ .

c) Gọi N là giao điểm của AD và BC, MN cắt AB tại H. Chứng minh MN // AC và N là trung điểm của MH.

Lời giải chi tiết :

a.   Vì :  $\left\{\begin{matrix}OA\perp AC & \\ OM\perp MC & \end{matrix}\right.$

=>   $\left\{\begin{matrix}\widehat{OAC}=90 ^{\circ}& \\ \widehat{OMC}=90 ^{\circ} & \end{matrix}\right.$

=>  $\widehat{OAC}+\widehat{OMC}=180 ^{\circ}$

=> Tứ giác OACM nội tiếp  ( đpcm ) .

=> Tương tự : Tứ giác BDMO  nội tiếp .

b.   

• CA, CM là tiếp tuyến của (O) =>  OC là phân giác $\widehat{AOM}$ .
• DB, DM là tiếp tuyến của (O)  =>  OD là phân giác $\widehat{BOM}$ .

Mà $\widehat{AOM},\widehat{BOM}$  là 2 góc kề bù =>  $OC\perp OD$ .

Xét tam giác vuông OCD , ta có :

• OM là đường cao =>  $MC.MD=OM^{2}=R^{2}$ .
• Do MC = AC, MD = BD   ( 2 tiếp tuyến xuất phát từ 1 điểm )  =>  $AC.BD=R^{2}$

=>  ( đpcm ) .

c.   Ta có : AC // BD  =>  $\frac{ND}{NA}=\frac{DB}{CA}$

Mà :  CA = CM, DB = DM  => $\frac{ND}{NA}=\frac{DM}{CM}$

=>  MN // AC .

=>  MH // AC // BD

=>  $\frac{MN}{AC}=\frac{DM}{DC}=\frac{BN}{BC}=\frac{NH}{AC}$

=>  $MN=NH$  hay N là trung điểm của MH  .  ( đpcm )