Lời giải Bài 4 Đề thi thử trường THPT chuyên Đà Nẵng

Lời giải bài 4:

Đề ra : 

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, vẽ đường cao AD và BE. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.

a.   Chứng minh :  $ tanB.tanC = \frac{AD}{HD}$

b.  Chứng minh :  $DH.DA\leq \frac{BC^{2}}{4}$

c.  Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.   Chứng minh rằng :    $\sin \frac{A}{2}\leq \frac{a}{2\sqrt{bc}}$

Lời giải chi tiết :

a.  

Ta có :  $\left\{\begin{matrix}\tan B=\frac{AD}{BD} & \\ \tan C=\frac{AD}{DC} & \end{matrix}\right.$

=>  $\tan B.\tan C=\frac{AD^{2}}{BD.DC}$    (1)

Xét 2 tam giác vuông ADC và BDH có :   $\widehat{DAC}=\widehat{DBH}$  ( cùng phụ góc C )

=>  $\triangle ADC\sim \triangle BDH$

=>  $\frac{AD}{DC}=\frac{BD}{DH}=>AD.DH=DB.DC$

=>  $\frac{AD^{2}}{DB.DC}=\frac{AD}{HD}$    (2)

Từ (1), (2)  =>  $ tanB.tanC = \frac{AD}{HD}$     ( đpcm )

b.

Theo câu (a) , ta có : $DH.DA=DB.DC\leq \frac{(DB+DC)^{2}}{4}=\frac{BC^{2}}{4}$   

Vậy $DH.DA\leq \frac{BC^{2}}{4}$     ( đpcm )

c.

Gọi Ax là tia phân giác góc A, kẻ BM; CN lần lượt vuông góc với Ax  .

Ta có : $\sin \widehat{MAB}=\sin \frac{A}{2}=\frac{BM}{AB}$

=>  $BM=c.\sin \frac{A}{2}$     (1)

Tương tự : $CN=b.\sin \frac{A}{2}$    (2)

Lấy (1) + (2)  =>  $BM + CN \leq BF+FC=BC=a$

=>  $(b+c)\sin \frac{A}{2}\leq a=> \sin \frac{A}{2}\leq \frac{a}{b+c}\leq \frac{a}{2\sqrt{bc}}$

Vậy   $\sin \frac{A}{2}\leq \frac{a}{2\sqrt{bc}}$ .     ( đpcm )