BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II

1. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Giải rút gọn bài 1 trang 65 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho điểm thỏa mãn . Tọa độ của điểm là

A.                                      B.

C.                                      D.

Giải rút gọn: 

Đáp án D.

Vì nên ta có tọa độ của điểm là .

Giải rút gọn bài 2 trang 65 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho hai điểm và . Tọa độ của vectơ là

A.                                      B.

C.                                      D.

Giải rút gọn: 

Đáp án D.

Vì

Giải rút gọn bài 3 trang 65 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho hai điểm và . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là

A.                                     B.

C.                                        D.

Giải rút gọn: 

Đáp án B. 

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là hay .

Giải rút gọn bài 4 trang 65 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho ba điểm , , . Tọa độ trọng tâm của tam giác là

A.                                     B.

C.                                       D.

Giải rút gọn: 

Đáp án D. 

Tọa độ trọng tâm của tam giác là hay

Giải rút gọn bài 5 trang 65 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho , , . Điểm sao cho là hình bình hành có tọa độ là

A. .                                   B. .

C. .                      D. .

Giải rút gọn: 

Đáp án A. 

Vì là hình bình hành nên

⇔

⇔

Giải rút gọn bài 6 trang 65 sách toán 12 tập 1 ctst: Gọi là góc giữa của hai vectơ và . Giá trị của là

A.                                     B.

C.                                   D.

Giải rút gọn: 

Đáp án C. 

Ta có: . Vậy

Giải rút gọn bài 7 trang 65 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho , , . Tích vô hướng có giá trị là

A.                                          B.

C.                                          D.

Giải rút gọn: 

Đáp án D.

và  

Nên

Giải rút gọn bài 8 trang 65 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho hai điểm , . Tọa độ điểm thỏa mãn là

A.                           B.

C.                           D.

Giải rút gọn: 

Đáp án A.

Giả sử . 

Ta có và  

Vì

Vậy tọa độ điểm là .

2. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Giải rút gọn bài 9 trang 65 sách toán 12 tập 1 ctst: Trong không gian , cho hình hộp chữ nhật như Hình 1, biết .

a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

b) Tính độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật đó.

Giải rút gọn: 

a) Dựa vào Hình 1 ta có , , , , , , , . 

b) Độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật đó là: 

Giải rút gọn bài 10 trang 65 sách toán 12 tập 1 ctst: Tìm tọa độ của điểm được biểu diễn trong Hình 2 và tính khoảng cách . 

Giải rút gọn: 

Dựa vào Hình 2, ta có: .

Khi đó khoảng cách là: . 

Giải rút gọn bài 11 trang 66 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho . Tìm tọa độ của vectơ

 .

Giải rút gọn: 

Ta có: .

Vậy  

Hay

Giải rút gọn bài 12 trang 66 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho ba điểm , , . Gọi là điểm nằm trên đoạn thẳng sao cho . Tính độ dài đoạn thẳng .

Giải rút gọn: 

Vì là điểm nằm trên đoạn thẳng nên và ngược hướng. 

Mà ta có . 

Gọi . 

Có .

Vì nên: 

. Vậy .

Vậy độ dài đoạn thẳng là:

Giải rút gọn bài 13 trang 66 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho hai vectơ và tạo với nhau một góc . Biết rằng và . Tính .

Giải rút gọn: 

Ta có:  

Vì vậy, .

Giải rút gọn bài 14 trang 66 sách toán 12 tập 1 ctstv: Cho hai điểm , .

a) Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh của tam giác với là gốc tọa độ.

b) Tính diện tích tam giác .

Giải rút gọn:  

a) Gọi là chân đường cao hạ từ xuống .

Như vậy, ta có

. Từ đó suy ra

Do đó hay

Vì nên .

⇔

Vậy ,

 Vậy độ dài của đường cao là:

b) Ta có

Vậy diện tích của tam giác là: .

Giải rút gọn bài 15 trang 66 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho biết máy bay A đang bay với vectơ vận tốc (đơn vị: km/h). Máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ gấp ba lần tốc độ của máy bay A.

a) Tìm tọa độ vectơ vận tốc của máy bay B.

b) Tính tốc độ của máy bay B.

Giải rút gọn:  

a) Ta có và cùng hướng và .

b) Tốc độ của máy bay B là: (km/h)

Giải rút gọn bài 16 trang 66 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho biết bốn đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tứ diện đến trọng tâm mặt đối diện luôn cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện đó.

Một phân tử metan được cấu tạo bởi bốn nguyên tử hydrogen ở các đỉnh của một tứ diện đều và một nguyên tử carbon ở trọng tâm của tứ diện.

Góc liên kết là góc tạo bởi liên kết là góc giữa các đường nối nguyên tử carbon với hai trong số các nguyên tử hydrogen. Chứng minh rằng góc liên kết này gần bằng .

Giải rút gọn:  

Gọi là trọng tâm của tứ diện đều .

Cách 1: Đặt

Ta có:

Cách 2: Theo hình vẽ ta suy ra góc liên kết là . Gọi lần lượt là trung điểm của .

Giả sử cạnh của tứ diện đều là a, suy ra

Ta có:

Từ đó suy ra . Vậy góc liên kết gần bằng .