BÀI 2: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 1: Cho hình lập phương có cạnh bằng 1. 

Đặt .

a) Nêu nhận xét về phương và độ dài của ba vectơ .

b) Nêu nhận xét về ba trục tọa độ .

Giải rút gọn: 

a) Ba vectơ có phương đôi một vuông góc với nhau, có cùng độ dài là bằng 1.

b) Ba trục tọa độ có cùng gốc tọa độ O và có vectơ đơn vị lần lượt là .

Thực hành 1: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng 1, vuông góc với mặt phẳng mặt phẳng đáy và có độ dài bằng 1 (Hình 4). Vẽ hệ trục tọa độ có gốc trùng với điểm , các điểm lần lượt nằm trên các tia và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ. 

Giải rút gọn: 

Với gốc tọa độ trùng với điểm , ta chọn tia là trục , tia là trục , tia là trục . Các vectơ đơn vị trên các trục tọa lần lượt là .

Vận dụng 1: Một thiết kế cơ khí trong Hình 5a được biểu diễn trong không gian như Hình 5b.

a) Hãy vẽ ba vectơ đơn vị lần lượt trên ba trục tọa độ (mỗi vectơ đơn vị có độ dài bằng 1m)

b) Biểu diễn các vectơ theo .

Giải rút gọn: 

a) Vẽ ba vectơ đơn vị

b) ;

2. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ

Hoạt động 2: Cho hình hộp có cạnh . Vẽ ba vectơ đơn vị lần lượt trên các cạnh . Biểu diễn theo ba vectơ

Giải rút gọn: 

Thực hành 2: Cho hình lập phương có cạnh bằng 5. Chọn hệ trục tọa độ có gốc trùng với ; các điểm lần lượt nằm trên các tia . Xác định tọa độ các điểm .

Giải rút gọn: 

Bởi vì cùng hướng và nên . 

Tương tự ta có và . 

Theo quy tắc hình bình hành:

Theo quy tắc hình hộp:

Qua đó, ta có: .

Hoạt động 3: Trong không gian , cho vectơ . Vẽ điểm sao cho . Gọi là tọa độ ba điểm biểu diễn theo ba đơn vị vectơ . 

Giải rút gọn: 

Ta có  

Mà nên  

Thực hành 3: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài bằng 3 (Hình 11)

a) Vẽ hệ trục tọa độ có gốc trùng với điểm , các điểm lần lượt nằm trên các tia và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ.

b) Trong hệ tọa độ nói trên, tìm tọa độ các vectơ và với là trung điểm của cạnh

Giải rút gọn: 

a) Với là gốc tọa độ ta chọn tia là tia , tia là tia , tia là tia . Ba vectơ đơn vị trên ba trục tọa độ lần lượt là với độ dài của lần lượt bằng . 

b) Ta có: , ,  

Do là trung điểm của cạnh nên

Vận dụng 2: Một máy bay đang cất cánh từ phi trường. Với hệ tọa độ được thiết lập như Hình 12, cho biết là vị trí của máy bay, ,  ; . Tìm tọa độ điểm .

Giải rút gọn: 

Xét tam giác vuông tại có ; 

.

Xét tam giác vuông tại có: 

;

Do đó, ta có . Từ đó suy ra tọa độ điểm biểu diễn vị trí máy bay là

3. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA

Giải rút gọn bài 1 trang 56 sách toán 12 tập 1 ctst: Trong không gian , biết:

a)   Tìm tọa độ các vectơ và

b) . Tìm tọa độ các điểm .

Giải rút gọn: 

a) ;

b)

Giải rút gọn bài 2 trang 56 sách toán 12 tập 1 ctst: Trong không gian Oxyz, biết:

a) . Tính theo các vectơ .

b) . Tính theo các vectơ .

Giải rút gọn: 

a)

b)

Giải rút gọn bài 3 trang 56 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho tứ diện có là tam giác vuông tại , , vuông góc với mặt phẳng và có độ dài bằng 2 (Hình 13).

a) Xác định một hệ tọa độ dựa trên gợi ý của hình vẽ và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các điểm .

Giải rút gọn: 

a) Chọn hệ trục với gốc tọa độ trùng với điểm như hình vẽ. Các vectơ đơn vị trên ba trục lần lượt là với độ dài của lần lượt bằng . 

b)

Giải rút gọn bài 4 trang 57 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2, vuông góc với đáy và bằng 1 (Hình 14). Thiết lập hệ tọa độ như hình vẽ, hãy vẽ các vectơ đơn vị trên các trục và tìm tọa độ của các điểm .

Giải rút gọn: 

Các vectơ đơn vị trên các trục lần lượt là với là điểm thuộc tia sao cho và là điểm thuộc tia sao cho . 

Vì đều và nên là trung điểm của . 

Mà ta có nên và .

Vì và ngược hướng và nên . Từ đó .

Vì cùng hướng và nên . Từ đó .

Vì cùng hướng và nên . Từ đó .

Theo quy tắc hình bình hành, ta có nên .

Giải rút gọn bài 5 trang 57 sách toán 12 tập 1 ctst: Trong không gian , cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm hai đường chéo và trùng với gốc . Các vectơ lần lượt cùng hướng với và (Hình 15). Tìm tọa độ các vectơ và với là trung điểm của cạnh .

Giải rút gọn: 

Vì là hình thoi cạnh bằng 5, là giao điểm của và nên là trung điểm của và .

Xét vuông tại , có

Vì cùng hướng và nên

Vì và ngược hướng và nên

Ta có nên

Ta có mà cùng hướng nên . Vì vậy, = (0; 8; 0)

Có cùng hướng và nên

Có nên

Có nên

Giải rút gọn bài 6 trang 57 sách toán 12 tập 1 ctst: Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ tọa độ như Hình 16 với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng 1 m. Tìm tọa độ của vectơ .

Giải rút gọn: 

Xét vuông tại , có . 

Mà nên

Suy ra: nên

Giải rút gọn bài 7 trang 57 sách toán 12 tập 1 ctst: Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm trong không gian như Hình 17. Gọi là hình chiếu vuông góc của xuống mặt phẳng . Cho biết , mặt phẳng . Cho biết , = 64°, = 48°. Tìm tọa độ của điểm .

Giải rút gọn: 

Giả sử . 

Ta có: nên .

Có là hình bình hành nên và là hình bình hành nên .

Xét vuông tại , ta có .

.

Xét vuông tại , có:

.

Xét vuông tại , có:

.

Vì cùng hướng và nên .

Vì cùng hướng và nên .

Vì cùng hướng và nên .

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:

.