BÀI 1: KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

1. KHOẢNG BIẾN THIÊN

Khởi động 1: Biểu đồ dưới đây thống kê thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày trong tháng 9/2022 của Bác Bình và bác An. 

Ai là người có thời gian tập đều hơn?

Giải rút gọn: 

Nhìn vào biểu đồ, ta có thể thấy bác Bình là người có thời gian tập đều hơn.

Khám phá 1: Bảng sau thống kê cân nặng của 50 quả xoài được lựa chọn ngẫu nhiên sau khi thu hoạch ở một nông trường. 

Có ý kiến cho rằng: “Trong 50 quả xoài trên, hiệu số cân nặng của hai quả bất kì không vượt quá 200g”. Ý kiến đó là đúng hay sai? Giải thích.

Giải rút gọn: 

Ý kiến đó là đúng. Vì cân nặng của quả xoài nằm trong khoảng [250; 450), mà 200 là hiệu số giữa 450 và 250 nên trong 50 quả xoài trên, hiệu số cân nặng của hai quả bất kì không vượt quá 200g.

Thực hành 1: Bạn Trang thống kê lại chiều cao (đơn vị:cm) của các bạn học sinh nữ lớp 12C và lớp 12D ở bảng sau.

Sử dụng khoảng biến thiên, hãy cho biết chiều cao của học sinh nữ lớp nào có độ phân tán lớn hơn.

Giải rút gọn: 

Khoảng biến thiên chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12C là:

Khoảng biến thiên chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12D là:

Vậy nếu căn cứ theo khoảng biến thiên thì chiều cao của học sinh lớp 12C có độ phân tán lớn hơn.

2. KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ

Khám phá 2: Kết quả điều tra tổng thu nhập trong năm 2022 của một số hộ gia đình trong một địa phương được ghi lại ở bảng sau:

a) Hãy tìm các tứ phân vị

b) Một doanh nghiệp địa phương muốn hướng dịch vụ của mình đến các gia đình có mức thu nhập ở tầm trung, tức là 50% các hộ gia đình có mức thu nhập ở chính giữa so với tất cả các hộ gia đình của địa phương. Hỏi doanh nghiệp cần hướng đến các gia đình có mức thu nhập trong khoảng nào?

Giải rút gọn: 

a) Cỡ mẫu n = 150.

Gọi là mẫu số liệu gốc gồm thu nhập của 150 hộ gia đình được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có ; ; ; ; .

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

b) Doanh nghiệp cần hướng đến các gia đình có mức thu nhập trong khoảng (triệu đồng)

Thực hành 2: Hãy so sánh khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình và bác An trong hoạt động Khởi động.

Giải rút gọn: 

Cỡ mẫu n = 30.

Gọi là mẫu số liệu gốc của thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác An và được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có; .

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: 

Gọi là mẫu số liệu gốc của thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình và được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có ∈ [15; 20); ∈ [20; 25); ; ; và .

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Như vậy, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình lớn hơn bác An.

Thực hành 3: a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở Ví dụ 4 sau khi đã loại bỏ các giá trị ngoại lệ. Em có nhận xét gì về khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị vừa tìm được và khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị ban đầu?

Hằng ngày ông Thắng đều đi xe buýt từ nhà đến cơ quan. Dưới đây là bảng thống kê thời gian của 100 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan.

b) Hãy so sánh độ phân tán của nửa giữa hai mẫu số liệu chiều cao của các học sinh nữ lớp 12C và 12D ở hoạt động Thực hành 1.

Giải rút gọn: 

a) Cỡ mẫu n = 100.

Gọi là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 100 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan và được xếp theo thứ tự không giảm.

Khoảng biến thiên (phút)

Ta có ; ; ; ; ; .

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: 

Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu hoặc

Hay hoặc

Vậy các giá trị ngoại lệ thuộc khoảng ; ; ;

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ là: 

(phút)

Gọi là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 100 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan sau khi đã loại bỏ các giá trị ngoại lệ và được xếp theo thứ tự không giảm. 

Ta có: Ta có ; .

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: 

Nhận xét: Như vậy, sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ, khoảng biến thiên mới giảm mạnh còn khoảng tứ phân vị thì không bị ảnh hưởng nhiều. 

b) Cỡ mẫu: n = 25.

Gọi là mẫu số liệu của chiều cao các bạn học sinh nữ lớp 12C được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có ; ; ; ; .

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: 

Gọi là mẫu số liệu gốc của chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12D được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có ; ; ; ; và .

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Ta có nên có thể kết luận chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12D có độ phân tán lớn hơn lớp 12C.

Vận dụng 1: Giả sử kết quả khảo sát hai khu vực A và B về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình được cho ở bảng sau:

a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của từng mẫu số liệu ghép nhóm ứng với mỗi khu vực A và B.

b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì phụ nữ ở khu vực nào có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn?

Giải rút gọn: 

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực A là: 

(tuổi)

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực B là: 

(tuổi)

Cỡ mẫu n = 100

Gọi là mẫu số liệu gốc về độ tuổi kết hôn của phụ nữ ở khu vực A và được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có ; ; ; ; .

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là  ∈ [28; 31). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: 

Gọi là mẫu số liệu gốc về độ tuổi kết hôn của phụ nữ ở khu vực B và được xếp theo thứ tự không giảm. 

Ta có: Ta có ; ; ; ;

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: 

b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì phụ nữ ở khu vực B có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn khu vực A, vì .

3. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA

Giải rút gọn bài 1 trang 73 sách toán 12 tập 1 ctst: Bảng sau thống kê tổng lượng mưa (đơn vị: mm) đo được vào tháng 7 từ năm 2002 đến 2021 tại một trạm quan trắc đặt ở Cà Mau.

a) Hãy tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

b) Hãy chia mẫu số liệu trên thành 4 nhóm với nhóm đầu tiên là và lập bảng tần số ghép nhóm.

c) Hãy tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm và so sánh với kết quả tương ứng thu được ở câu a).

Giải rút gọn: 

a) Mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự tăng dần như sau: 147; 187,1; 200,7; 242,2; 251,4; 258,4; 288,5; 298,1; 305; 332; 341,4; 388,6; 400; 413,5; 413,5; 421; 432,2; 475; 520; 522,9. 

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: (mm)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là trung vị của 147; 187,1; 200,7; 242,2; 251,4; 258,4; 288,5; 298,1; 305; 332 nên ta có

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là trung vị của 341,4; 388,6; 400; 413,5; 413,5; 421; 432,2; 475; 520; 522,9 nên ta có:

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

b) 

c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: (mm)

Cỡ mẫu n = 20.

Gọi là mẫu số liệu gốc về lượng mưa đo được vào tháng 7 từ năm 2002 đến 2021 tại một trạm quan trắc đặt ở Cà Mau và được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có ; ; ; .

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: 

So sánh với số liệu của câu a), ta thấy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm lớn hơn của mẫu số liệu và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm nhỏ hơn của mẫu số liệu.

Giải rút gọn bài 2 trang 74 sách toán 12 tập 1 ctst: Biểu đồ dưới đây biểu diễn số lượt khách hàng đặt bàn qua hình thức trực tuyến mỗi ngày trong quý III năm 2022 của một nhà hàng. Cột thứ nhất biểu diễn số ngày có từ 1 đến dưới 6 lượt đặt bàn; cột thứ hai biểu diễn số ngày có từ 6 đến dưới 11 lượt đặt bàn; …

Hãy tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi biểu đồ trên.

Giải rút gọn: 

Cỡ mẫu n = 92.

Gọi là mẫu số liệu gốc về về số lượt khách hàng đặt bàn qua hình thức trực tuyến mỗi ngày trong quý III năm 2022 của nhà hàng và được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có ; ; ; ; ;

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là và . Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: 

Giải rút gọn bài 3 trang 74 sách toán 12 tập 1 ctst: Kết quả đo chiều cao của 100 cây keo 3 năm tuổi tại một nông trường được cho ở bảng sau:

a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Trong 100 cây keo trên có 1 cây cao 8,4 m. Hỏi chiều cao của cây keo này có phải là giá trị ngoại lệ không?

Giải rút gọn: 

a) Khoảng biên thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: (m)

Cỡ mẫu n = 100

Gọi là mẫu số liệu gốc về chiều cao của 100 cây keo ba năm tuổi tại một nông trường và được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có ; ; ; ; ;

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là và . Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: 

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: 

b) Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu hoặc 

. 

Hay hoặc

Giải rút gọn bài 4 trang 74 sách toán 12 tập 1 ctst: Hai bảng tần số ghép nhóm dưới đây thống kê theo độ tuổi số lượng thành viên nam và thành viên nữ đang sinh hoạt trong một câu lạc bộ dưỡng sinh.

a) Hãy tính các khoảng tứ phân vị của tuổi nam giới và nữ giới trong mỗi bảng số liệu ghép nhóm trên.

b) Hãy cho biết trong câu lạc bộ trên, nam giới hay nữ giới đồng đều hơn.

Giải rút gọn: 

a) Cỡ mẫu n = 50

Gọi là mẫu số liệu gốc về độ tuổi số lượng thành viên nam đang sinh hoạt trong câu lạc bộ dưỡng sinh và được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có ; ; ; ; ; ; .

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: 

Gọi là mẫu số liệu gốc về độ tuổi độ tuổi số lượng thành viên nữ đang sinh hoạt trong câu lạc bộ dưỡng sinh và được xếp theo thứ tự không giảm. 

Ta có ; ; ; ; ; ; ; .

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là . Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: 

b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì ta thấy nam giới đồng đều hơn nữ giới, vì .