BÀI 4: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ MỘT SỐ HÀM SỐ CƠ BẢN

1. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Hoạt động 1: Cho hàm số

a) Lập bảng biến thiên: 

b) Vẽ đồ thị của hàm số. 

Giải rút gọn:

a) Tập xác định:

• Chiều biến thiên: 

Ta có:  

Trên khoảng , nên hàm số đồng biến trên khoảng đó

Trên khoảng , nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó

• Cực trị:

Hàm số đạt tại cực đại tại và

Hàm số không có cực tiêu

• Các giới hạn tại vô cực:

• Bảng biến thiên: 

b) Đồ thị hàm số:

Khi thì là giao điểm của đồ thị với trục . 

Ta có: hoặc  

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục tại hai điểm và  

2. KHẢO SÁT HÀM SỐ

Thực hành 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 

a)                     

b)

Giải rút gọn:

a) 1. Tập xác định:

2. Sự biến thiên: 

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm: hoặc

Trên các khoảng và , nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng , nên hàm số đồng biến trên khoảng đó. 

• Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại

Hàm số đạt cực tiểu tại

• Các giới hạn tại vô cực: 

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Khi thì là giao điểm của đồ thị với trục . 

Ta có: hoặc  

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục tại hai điểm và  

Điểm là điểm cực tiểu và điểm là điểm cực đại của đồ thị hàm số. Đồ thị có tâm đối xứng là điểm

b) 1. Tập xác định:

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm:

Trên tập xác định , nên hàm số đồng biến trên tập xác định.

• Cực trị:

Hàm số không có cực trị. 

• Các giới hạn tại vô cực: 

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Khi thì nên là giao điểm của đồ thị với trục . 

Ta có:  

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục tại điểm .

Đồ thị có tâm đối xứng là điểm

3. KHẢO SÁT HÀM SỐ

Thực hành 2: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 

a) ;                      

b) ;                    

c)   

Giải rút gọn:

a) 1. Tập xác định:

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm . Vì nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và .

• Tiệm cận:

Ta có: ; . 

Suy ra đường thẳng là đường tiệm cận đứng của đồ thị.

Ta có:  

Suy đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Đồ thị của hàm số giao với trục tại điểm , giao với trục tại điểm .

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận và .

b) 1. Tập xác định:

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm . Vì nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và .

• Tiệm cận:

Ta có: ; . 

Suy ra đường thẳng là đường tiệm cận đứng của đồ thị.

Ta có: 

Suy đường thẳng  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Đồ thị của hàm số đi qua gốc tọa độ .

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận và .

c) 1. Tập xác định:

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm . Vì nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và .

• Tiệm cận:

Ta có: ; . 

Suy ra đường thẳng là đường tiệm cận đứng của đồ thị.

Ta có:  

Suy đường thẳng  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Đồ thị của hàm số giao với trục tại điểm , giao với trục tại điểm .

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận và .

4. KHẢO SÁT HÀM SỐ đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)

Thực hành 3: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 

a) ;                   

b)              

c) .

Giải rút gọn:

1. Tập xác định:

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm . Vì nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và .

• Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

;

Ta có: ;

Suy ra đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: ; .

Suy đường thẳng hay trục tung là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Ta có: hoặc

Đồ thị của hàm số giao với trục tại điểm và

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm trùng với gốc tọa độ .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận và .

b)

1. Tập xác định:

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm hoặc

Trên các khoảng và , nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó. 

Trên các khoảng và , nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. 

• Cực trị: 

Hàm số đạt cực tiểu tại

Hàm số đạt cực đại tạo

• Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

;

Ta có: ;

Suy ra đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: ; .

Suy đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Ta có: hoặc

Đồ thị của hàm số giao với trục tại điểm và

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận và .

c) 

1. Tập xác định:

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm . Vì nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và

• Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

;

Ta có: ;

Suy ra đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: ; .

Suy đường thẳng hay trục tung là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Ta có: hoặc

Đồ thị của hàm số giao với trục tại điểm và

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận và .

5. VẬN DỤNG ĐẠO HÀM VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN

Thực hành 4: Xét một vật thật đặt trước thấu kính hội tụ có tiêu cự . Gọi d là khoảng cách từ vật đến thấu kính , là khoảng cách từ thấu kính đến ảnh (ảnh thật thì , ảnh ảo thì ). Ta có công thức: 

hay

(Vật lí 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012, trang 182,187)

Xét trường hợp , đặt . Ta có hàm số và .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên.

b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy cho biết vị trí của vật để ảnh của vật là: ảnh thật, ảnh ảo.

c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm thì ảnh thay đổi như thế nào? 

Giải rút gọn:

a) 

1. Tập xác định:

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm . Vì nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và

• Tiệm cận:

Ta có: ; . 

Suy ra đường thẳng là đường tiệm cận đứng của đồ thị.

Ta có: 

Suy đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Đồ thị của hàm số đi qua gốc tọa độ .

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 3 và y = 3.

b) Để ảnh là ảnh thật thì tức  

Dựa vào đồ thị hàm số ta nhận thấy:

- Khi thì .

- Khi thì . 

Vậy khi khoảng cách từ vật đến thấu kính thì ta thu được ảnh thật; thì ta thu được ảnh ảo. 

c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm ( tiến dần tới ) thì khoảng cách từ thấu kính tới ảnh tiến dần tới vô cùng, tức ảnh của vật dần biến thành ảnh ảo.

Thực hành 5: Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp chữ nhật có thể tích với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất. Chiều cao hộp phải là , các kích thước khác là với và .

a) Hãy biểu thị theo

b) Chứng tỏ rằng diện tích toàn phần của chiếc hộp là: 

.

c) Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng .

d) Kích thước của hộp là bao nhiêu thì dùng ít vật liệu nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Giải rút gọn:

a) Ta có thể tích

b) Ta có diện tích toàn phần:

c) Tập xác định: .

  hoặc (loại). 

Bảng biến thiên: 

d) Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = .

Suy ra, để dùng ít vật liệu nhất, kích thước của hộp là: x = ,

6. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA

Giải rút gọn bài 1 trang 36 sách toán 12 tập 1 ctst: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a)                               

b)

Giải rút gọn:

a)

1. Tập xác định:

2. Sự biến thiên: 

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm:

Trên các khoảng và , nên hàm số đồng biến biến trên mỗi khoảng đó.

• Cực trị:

Hàm số không có cực trị. 

• Các giới hạn tại vô cực: 

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Khi thì là giao điểm của đồ thị với trục . 

Ta có:  

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục tại điểm .

Đồ thị có tâm đối xứng là điểm .

 b) 

1. Tập xác định:

2. Sự biến thiên: 

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm: hoặc

Trên các khoảng và nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng , nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. 

• Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại

Hàm số đạt cực tiểu tại

• Các giới hạn tại vô cực: 

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Khi thì là giao điểm của đồ thị với trục Oy. 

Ta có:  

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục tại điểm .

Đồ thị có tâm đối xứng là điểm .

Giải rút gọn bài 2 trang 36 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho hàm số

a) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số biết hoành độ của I là nghiệm của phương trình

b) Chứng minh rằng là trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. 

Giải rút gọn:

a) Tập xác định:

Ta có: = 0;

Thay I (1;0)

b) ; hoặc  

Hàm số đạt cực tiểu tại

Hàm số đạt cực đại tạo

Trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm cực trị có tọa độ là: 

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm cực trị trùng với tọa độ điểm I hay điểm I chính là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm cực trị  của đồ thị hàm số. 

Giải rút gọn bài 3 trang 36 sách toán 12 tập 1 ctst: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số sau: 

a) :                                       

b)

Giải rút gọn:

a) 

1. Tập xác định:

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm . Vì nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và

• Tiệm cận:

Ta có: ; . 

Suy ra đường thẳng hay trục tung là đường tiệm cận đứng của đồ thị.

Ta có:  

Suy đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Đồ thị của hàm số giao với trục tại điểm .

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận và .

b) 

1. Tập xác định:

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm . Vì nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và

• Tiệm cận:

Ta có: ; . 

Suy ra đường thẳng là đường tiệm cận đứng của đồ thị.

Ta có:  

Suy đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Đồ thị của hàm số giao với trục tại điểm , giao với trục tại điểm .

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận và .

Giải rút gọn bài 4 trang 36 sách toán 12 tập 1 ctst: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 

a)                                             

b)

Giải rút gọn:

a)

1. Tập xác định:

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm ; hoặc

Trên các khoảng và nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng , nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

• Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

;

Ta có:  

Suy ra đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: ; .

Suy đường thẳng hay trục tung là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Đồ thị của hàm số giao với trục tại điểm

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm trùng với gốc tọa độ .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận và .

b) 

1. Tập xác định:

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm ; hoặc

Trên các khoảng và , nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó. 

Trên các khoảng và , nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. 

• Cực trị: 

Hàm số đạt cực tiểu tại

Hàm số đạt cực đại tại

• Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

Ta có:  

Suy ra đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: ; .

Suy đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Đồ thị của hàm số giao với trục tại điểm

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận và .

Giải rút gọn bài 5 trang 36 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho hàm số:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Tìm tọa độ trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Có nhận xét gì về điểm này?

Giải rút gọn:

a)

1. Tập xác định: D =

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm ; hoặc

Trên các khoảng và nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng , nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

• Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

Ta có: ;

Suy ra đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: ; .

Suy đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị:

Ta có: hoặc  

Đồ thị của hàm số giao với trục tại điểm và

Đồ thị của hàm số giao với trục tại điểm

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận và .

Giải rút gọn bài 6 trang 36 sách toán 12 tập 1 ctst: Bạn Việt muốn dùng tấm bìa hình vuông cạnh 6dm làm một chiếc hộp không nắp, có đáy là hình vuông bằng cách cắt bỏ đi 4 hình vuông nhỏ ở bốn góc của tấm bìa (Hình 11).

Bạn Việt muốn tìm độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ để chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất.

a) Hãy thiết lập hàm số biểu thị thể tích hộp theo với là độ dài cạnh hình vuông cần cắt đi.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số tìm được.

Từ đó, hãy tư vấn cho bạn Việt cách giải quyết vấn đề và giải thích vì sao cần chọn giá trị này. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Giải rút gọn:

a) Chiều cao của hộp bằng:

Độ dài ở đáy hộp bằng:

Vậy thể tích hộp sẽ bằng:

b) Tập xác định:

• Chiều biến thiên:

hoặc (loại)

Hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng . 

• Cực trị:

          Hàm số đạt cực đại tại

• Bảng biến thiên: 

• Đồ thị: 

Ta có: hoặc  

Đồ thị của hàm số đi qua gốc tọa độ .

Đồ thị của hàm số giao với trục tại điểm

Từ đồ thị trên, ta có thể thấy, khi độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ bằng 1 thì chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất .