BÀI 4: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ MỘT SỐ HÀM SỐ CƠ BẢN

A. MỤC TIÊU CẦN ĐẠT CỦA BÀI HỌC

– Mô tả được sơ đồ tổng quát để khảo sát hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị).

– Khảo sát được tập xác định, chiều biến thiên, cực trị, tiệm cận, bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: ; ;  đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu).

- Nhận biết được tính đối xứng (trục đối xứng, tâm đối xứng) của các đồ thị hàm số trên.

B. NHỮNG NỘI DUNG CẦN GHI NHỚ TRONG BÀI HỌC

1. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số , ta thực hiện theo các bước sau đây:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

- Tìm đạo hàm , xét dấu , xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

- Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

- Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

- Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (nếu có và dễ tìm),...

- Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

- Vẽ đồ thị hàm số.

2. KHẢO SÁT HÀM SỐ

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a)                

Bài giải:

1. Tập xác định: D =
2. Sự biến thiên: 

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm:

Trên các khoảng (-∞;-1) và (0; +∞), nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng (0;2), nên hàm số đồng biến trên khoảng đó. 

• Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại

Hàm số đạt cực tiểu tại

• Các giới hạn tại vô cực: 

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Khi thì là giao điểm của đồ thị với trục Oy. 

Ta có:  

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục 0x tại hai điểm (-1; 0) và .

Điểm (-1;0) là điểm cực tiểu và điểm (0; 1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số. Đồ thị có tâm đối xứng là điểm

3. KHẢO SÁT HÀM SỐ

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: ;          

Bài giải:

1. Tập xác định: D =
2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm . Vì nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

• Tiệm cận:

Ta có: ; . 

Suy ra đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị.

Ta có:

Suy đường thẳng y = 1  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-1;0), giao với trục Oy tại điểm (0; -1).

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = 1.

4. KHẢO SÁT HÀM SỐ đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: ;       

Bài giải:

1. Tập xác định: D =
2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm . Vì nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

• Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

Ta có:

Suy ra đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: ; .

Suy đường thẳng hay trục tung là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Ta có:

Đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-1;0) và (1;0)

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm trùng với gốc tọa độ O.

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 0 và y = x .

5. VẬN DỤNG ĐẠO HÀM VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN

Xét một vật thật đặt trước thấu kính hội tụ có tiêu cự . Gọi d là khoảng cách từ vật đến thấu kính , là khoảng cách từ thấu kính đến ảnh (ảnh thật thì , ảnh ảo thì ). Ta có công thức: 

hay

(Vật lí 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012, trang 182,187)

Xét trường hợp , đặt . Ta có hàm số và .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên.

b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy cho biết vị trí của vật để ảnh của vật là: ảnh thật, ảnh ảo.

Bài giải:

a) 

1. Tập xác định: D =
2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm . Vì nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

• Tiệm cận:

Ta có: ; . 

Suy ra đường thẳng x = 3 là đường tiệm cận đứng của đồ thị.

Ta có: 

Suy đường thẳng y = 3  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 3 và y = 3.

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta nhận thấy: 

- Khi x ∈ (3; +∞) thì .

- Khi x ∈ (0;3) thì . 

Vậy khi khoảng cách từ vật đến thấu kính d ∈ (3; +∞) thì ta thu được ảnh thật; d ∈ (0;3) thì ta thu được ảnh ảo.