BÀI 2. TÍCH PHÂN

1. DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG

Hoạt động 1: 

Cho hàm số y = f(x) = x + 1.Với mỗi x ≥ 1, kí hiệu S(x) là diện tích của hình thang giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng vuông góc với Ox tại các điểm có hoành độ 1 và x.

Giải rút gọn: 

a) x = 3 ta có: y = 3 + 1 = 4

Phần S(3) cần tính là diện tích hình thang có độ dài 2 đáy lần lượt là 2 và 4, chiều cao là 2.

b) Phần S(x) cần tính là diện tích hình thang có độ dài 2 đáy lần lượt là 2 và x + 1, chiều cao là x - 1.

d) Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nên: 

Để tính S(3) khi biết một nguyên hàm của f (x), ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm nguyên hàm F(x) của f(x)

Bước 2: Tính các giá trị F(3) và F(1) (do x1)

Bước 3: Giá trị S(3) cần tính là: S(3) = F(3) - F(1)

Thực hành 1: 

Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = e^x, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1 (Hình 4).

Giải rút gọn: 

Hàm số y = f(x) = e^x liên tục, dương trên đoạn [0;1] và có một nguyên hàm là 

2. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

Hoạt động 2: 

Cho hàm số f (x) = 2x – 1. Lấy hai nguyên hàm tùy ý F(x) và G(x) của f (x), rồi tính F(3) – F(0) và G(3) – G(0). Nhận xét về kết quả nhận được.

Giải rút gọn: 

Thực hành 2: 

Tính các tích phân sau:

Giải rút gọn: 

Vận dụng 1: 

Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ v(t)  = 2t - 0,03t² (0 ≤ t ≤ 10), trong đó v(t) tính theo m/s, thời gian t tính theo giây với t = 0 là thời điểm xe xuất phát.

a) Tính quãng đường xe đi được sau 5 giây, sau 10 giây.

b) Tính tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 10.

Giải rút gọn: 

3. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

Tính chất 1

Hoạt động 3: 

Giải rút gọn: 

Thực hành 3: 

Tính các tích phân sau:

Giải rút gọn: 

Tính chất 2

Hoạt động 4: 

Giải rút gọn: 

Thực hành 4: 

Tính các tích phân sau:

Giải rút gọn: 

Vận dụng 2: 

Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón, gọi P(x) là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu được từ việc bán x tấn sản phẩm trong một tuần. Khi đó, đạo hàm P'(x), gọi là lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức:

P'(x) = 16 – 0,02x với 0 ≤ x ≤ 100.

Tính lợi nhuận nhà máy thu được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần. Biết rằng nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.

Giải rút gọn: 

Tính chất 3

Hoạt động 5: 

Giải rút gọn: 

Thực hành 5: 

Tính:

Giải rút gọn: 

Vận dụng 3: 

Biết rằng tốc độ v (km/phút) của một ca nô cao tốc thay đổi theo thời gian t (phút) như sau:

Tính quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút.

Giải rút gọn: