BÀI 2. TÍCH PHÂN

1. Diện tích hình thang cong

Hoạt động 1 trang 12 toán 12 tập 2 ctst 

 Cho hàm số .Với mỗi , kí hiệu là diện tích của hình thang giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng vuông góc với tại các điểm có hoành độ 1 và .

a) Tính .

b) Tính với mỗi .

c) Tính . Từ đó suy ra là một nguyên hàm của trên .

d) Cho là một nguyên hàm của hàm số . Chứng tỏ rằng . Từ đó nhận xét về cách tính khi biết một nguyên hàm của .

Giải nhanh:

a) Với ta có:

.

b) Phần cần tính là diện tích hình thang có độ dài 2 đáy lần lượt là 2 và , chiều cao là .

với mỗi .

c)

Vì với mỗi nên là một nguyên hàm của trên .

d) Vì là một nguyên hàm của hàm số nên: 

Với

Với ;

Để tính khi biết một nguyên hàm của , ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm nguyên hàm của

Bước 2: Tính các giá trị và (do )

Bước 3: Giá trị cần tính là:

Thực hành 1 trang 13 toán 12 tập 2 ctst 

Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung và đường thẳng (Hình 4)

Giải nhanh:

Hàm số liên tục, dương trên đoạn và có một nguyên hàm là

2. Khái niệm tích phân

Hoạt động 2 trang 14 toán 12 tập 2 ctst 

  Cho hàm số . Lấy hai nguyên hàm tuỳ ý và của , rồi tính và . Nhận xét về kết quả nhận được.

Giải nhanh:

Giả sử và

Với ;

Với ;

;

Thực hành 2 trang 16 toán 12 tập 2 ctst 

 Tính các tích phân sau:

a) ;

b) ;

c) .

Giải nhanh:

a)

b)

c)

Vận dụng 1 trang 16 toán 12 tập 2 ctst 

Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ , trong đó tính theo m/s, thời gian tính theo giây vớilà thời điểm xe xuất phát.

a) Tính quãng đường xe đi được sau 5 giây, sau 10 giây.

b) Tính tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian từ đến .

Giải nhanh:

Gọi là quãng đường xe đi được sau giây kể từ khi xe xuất phát

a) Quãng đường xe đi được sau 5 giây là: 

(m)

Quãng đường xe đi được sau 10 giây là: 

(m)

b) Tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian từ đến là:

(m/s)

3. Tính chất của tích phân

Tính chất 1

Hoạt động 3 trang 16 toán 12 tập 2 ctst 

 a) Tính một nguyên hàm của hàm số . Từ đó, tính: .

b) Tính .

c) Có nhận xét gì về giá trị của và ?

Giải nhanh:

a)

Giả sử

b)

c)

Thực hành 3 trang 17 toán 12 tập 2 ctst 

 Tính các tích phân sau:

a) ;

b) ;

c) .

Giải nhanh:

a)

b)

c)

Tính chất 2

Hoạt động 4 trang 17 toán 12 tập 2 ctst 

  a) Tính một nguyên hàm của hàm số . Từ đó, tính .

b) Tính .

c) Có nhận xét gì về hai kết quả trên?

Giải nhanh:

a)

Giả sử

b)

c)

Thực hành 4 trang 18 toán 12 tập 2 ctst 

 Tính các tích phân sau:

a) ;

b) ;

c) .

Giải nhanh:

a)

b)

c) 12

Vận dụng 2 trang 18 toán 12 tập 2 ctst 

 Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón, gọi là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu được từ việc bán x tấn sản phẩm trong một tuần. Khi đó, đạo hàm , gọi là lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức:

với .

Tính lợi nhuận nhà máy thu được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần. Biết rằng nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.

Giải nhanh:

Vì nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần nên

=> 

Tính chất 3

Hoạt động 5 trang 18 toán 12 tập 2 ctst 

 Cho hàm số . Tính và so sánh kết quả:

và .

Giải nhanh:

= 4

Thực hành 5 trang 19 toán 12 tập 2 ctst 

Tính:

a) ;

b) ;

c) .

Giải nhanh:

a) -10

b)

c) 2

Vận dụng 3 trang 19 toán 12 tập 2 ctst 

Biết rằng tốc độ (km/phút) của một ca nô cao tốc thay đổi theo thời gian t (phút) như sau:

Tính quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút.

Giải nhanh:

Gọi là quãng đường ca nô di chuyển được tại thời điểm phút

Quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút là:

(km)

GIẢI BÀI TẬP

Bài 1 trang 20 toán 12 tập 2 ctst 

Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi:

a) Đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , (Hình 7);

b) Đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , (Hình 8).

Giải nhanh:

a)

b)  

Bài 2 trang 20 toán 12 tập 2 ctst 

Tính các tích phân sau:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

Giải nhanh:

a)

b)

c)

d)

Bài 3 trang 20 toán 12 tập 2 ctst 

Tính các tích phân sau:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

Giải nhanh:

a)

b)

c)

d)

Bài 4 trang 20 toán 12 tập 2 ctst 

 a) ;

b) ;

c) .

Giải nhanh:

a) 5

b) 16

c) 2

Bài 5 trang 20 toán 12 tập 2 ctst 

Mặt cắt ngang của một ống dẫn khí nóng là hình vành khuyên như Hình 9. Khí bên trong ống được duy trì ở 150°C. Biết rằng nhiệt độ T (°C) tại điểm A trên thành ống là hàm số của khoảng cách (cm) từ A đến tâm của mặt cắt và

.

(Nguồn: Y.A.Çengel, A.I.Gahjar, Heat and Mass Transfer, Mc Graw Hill, 2015)

Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống.

Giải nhanh:

Vì khí bên trong ống được duy trì ở 150°C nên

=> (°C)

Bài 6 trang 20 toán 12 tập 2 ctst 

Giả sử tốc độ (m/s) của một thang máy di chuyển từ tầng 1 lên tầng cao nhất theo thời gian (giây) được cho bởi công thức:

Tính quãng đường chuyển động và tốc độ trung bình của thang máy.

Giải nhanh:

Gọi là quãng đường thang máy chuyển động được trong giây

Để đi từ tầng 1 lên tầng cao nhất, thang máy mất 24 giây

Quãng đường chuyển động của thang máy từ tầng 1 lên tầng cao nhất là:

(m)

Tốc độ trung bình của thang máy là: (m/s)