BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1. Vecto pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Hoạt động 1 trang 32 toán 12 tập 2 ctst 

a) Cho vectơ khác . Qua một điểm , cố định trong không gian, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với giá của vectơ ?

b) Cho hai vectơ , không cùng phương. Qua một điểm , cố định trong không gian, có bao nhiêu mặt phẳng song song hoặc chứa giá của hai vectơ , ?

Giải nhanh:

a) Chỉ có một mặt phẳng vuông góc với giá của vectơ .

b) Chỉ có một mặt phẳng song song hoặc chứa giá của hai vectơ , không cùng phương.

Thực hành 1 trang 33 toán 12 tập 2 ctst 

Trong không gian , cho ba điểm . 

a) Tìm toạ độ của một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng .

b) Tìm tọa độ của một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Giải nhanh:

a) và

b) .

Vận dụng 1 trang 33 toán 12 tập 2 ctst 

Một lăng kính có dạng hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều ở Hình 3a được vẽ lại như Hình 3b. Tìm một cặp vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Giải nhanh:

, là một cặp vectơ chỉ phương của

là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết một cặp vectơ chỉ phương

Hoạt động 2 trang 33 toán 12 tập 2 ctst 

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương , . Xét vectơ

a) Vectơ khác vecto hay không?

b) Tính ; .

c) Vecto có phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng hay không?

Giải nhanh:

a) Do mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương , nên và không cùng phương

 và /hoặc và/ hoặc

và/ hoặc và/ hoặc

Như vậy .

b)

c) Do và nên .

Như vậy là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Thực hành 2 trang 34 toán 12 tập 2 ctst 

Cho mặt phẳng đi qua ba điểm , , . Tìm một cặp vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của .

Giải nhanh:

Mặt phẳng đi qua ba điểm , , nên có cặp vectơ chỉ phương là và

=> Mặt phẳng nhận làm một vectơ pháp tuyến

Vận dụng 2 trang 34 toán 12 tập 2 ctst 

Cho biết hai vectơ , có giá lần lượt song song với ngón trỏ và ngón giữa của bàn tay trong Hình 5. Tìm vectơ có giá song song với ngón cái. (Xem như ba ngón tay nói trên tạo thành ba đường thẳng đôi một vuông góc.)

Giải nhanh:

Vì ba ngón tay nói trên tạo thành ba đường thẳng đôi một vuông góc nên .

3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng. 

Khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng

Hoạt động 3 trang 35 toán 12 tập 2 ctst 

 Trong không gian , cho mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến. Gọi là một điểm tùy ý trong không gian. Tính tích vô hướng theo .

Giải nhanh:

=>

Thực hành 3 trang 36 toán 12 tập 2 ctst 

  Cho hai mặt phẳng có phương trình tổng quát là

và .

a) Tìm một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng

b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng trong số các điểm: , .

Giải nhanh:

a) Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là

Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là

b) Thay toạ độ điểm vào phương trình của ta được:

Như Vậy không thuộc  

Thay toạ độ điểm vào phương trình của ta được:

Như Vậy thuộc  

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

Hoạt động 4 trang 36 toán 12 tập 2 ctst 

  Trong không gian , cho mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến. Gọi là một điểm tùy ý trong không gian.

a) Tìm toạ độ của .

b) Tính tích vô hướng .

c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng .

Giải nhanh:

a)

b)

c) là một điểm tùy ý trong không gian. Do là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nên điểm thuộc

Như vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng là: 

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương

Hoạt động 5 trang 36 toán 12 tập 2 ctst 

 Trong không gian , cho mặt phẳng đi qua điểm và có cặp vectơ chỉ phương là , .

a) Tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

b) Lập phương trình của mặt phẳng .

Giải nhanh:

a) Mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương là , nên có một vectơ pháp tuyến là:

b) Vì đi qua điểm và có  nên có phương trình là:

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Hoạt động 6 trang 37 toán 12 tập 2 ctst 

 Trong không gian , cho mặt phẳng đi qua ba điểm , , .

a) Tìm toạ độ một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng .

b) Tìm tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

c) Lập phương trình của mặt phẳng .

Giải nhanh:

a) và , 

b) Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là:

c) Vì đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

Thực hành 4 trang 38 toán 12 tập 2 ctst 

 Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến .

b) đi qua điểm và có cặp vectơ chỉ phương là , .

c) đi qua ba điểm . 

d) đi qua ba điểm .

Giải nhanh:

a) Vì đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

b) có cặp vectơ chỉ phương là , ， có 

Phương trình của là: 

c) đi qua ba điểm nên có cặp vectơ chỉ phương là và , suy ra có 

Phương trình của là: 

d) đi qua ba điểm nên có cặp vectơ chỉ phương là và suy ra có

Phương trình của là: 

Vận dụng 3 trang 38 toán 12 tập 2 ctst 

 Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ . Biết là gốc toạ độ, , , . Viết phương trình các mặt phẳng và .

Giải nhanh:

Mặt phẳng đi qua 3 điểm , , nên có cặp vectơ chỉ phương là và , suy ra có 

Phương trình của là: 

,

Tương tự, mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương là và , suy ra có 

Phương trình của là: 

4. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Hoạt động 7 trang 38 toán 12 tập 2 ctst 

 Cho hai mặt phẳng có phương trình là

và .

a) Nêu nhận xét về các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng trên.

b) Cho điểm . Hãy cho biết các mặt phẳng có đi qua không. 

c) Giải thích tại sao song song với .

Giải nhanh:

a) Mặt phẳng có 

Mặt phẳng có

nên 2 vecto và cùng phương

b) Thay toạ độ điểm vào phương trình của ta được:

Như vậy thuộc  

Thay toạ độ điểm vào phương trình của ta được:

Như vậy không thuộc  

c) Vì và tương ứng là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng và cùng phương với nhau nên song song hoặc trùng nhau

Tuy nhiên điểm và nên không trùng nhau

Như vậy song song với .

Thực hành 5 trang 39 toán 12 tập 2 ctst 

 Mặt phẳng song song với mặt phẳng nào sau đây?

a) ;

b) ;

c) .

Giải nhanh:

Các mặt phẳng có các vecto pháp tuyến lần lượt là:

, , ,

a) , . Như vậy

b) , . Như vậy

c) suy ra và không cùng phương. Như vậy cắt

Vận dụng 4 trang 40 toán 12 tập 2 ctst 

 Trên bản thiết kế đồ hoạ 3D của một cánh đồng điện mặt trời trong không gian , một tấm pin nằm trên mặt phẳng ; một tấm pin khác nằm trên mặt phẳng đi qua điểm và song song với Viết phương trình mặt phẳng .

Giải nhanh:

Dễ thấy không thuộc mặt phẳng . Vì nên có

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có là:

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Hoạt động 8 trang 40 toán 12 tập 2 ctst 

 Cho hai mặt phẳng có phương trình là

và .

a) Chỉ ra hai vectơ , lần lượt là vectơ pháp tuyến của . 

b) Tính tích vô hướng và nêu nhận xét về hai mặt phẳng . 

Giải nhanh:

a) có vectơ pháp tuyến

có vectơ pháp tuyến

b)  

Lại có , lần lượt là vectơ pháp tuyến của nên

Thực hành 6 trang 40 toán 12 tập 2 ctst 

 Tìm các cặp mặt phẳng vuông góc trong các mặt phẳng sau:

,

,

.

Giải nhanh:

Các mặt phẳng có vecto pháp tuyến lần lượt là:

 , ,

 . Như vậy  

 . Như vậy và không vuông góc với nhau

 . Như vậy  

Vận dụng 5 trang 40 toán 12 tập 2 ctst 

 Hai học sinh đang chuyền bóng. Bạn nữ ném bóng cho bạn nam. Quả bóng bay trên không, lệch sang phải và rơi xuống tại vị trí cách bạn nam 3 m, cách bạn nữ 5m (Hình 16). Cho biết quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đất. Hãy viết phương trình của trong không gian được mô tả như trong hình vẽ.

Giải nhanh:

, áp dụng định lý Pythagore được , do đó

Vì mặt phẳng vuông góc với mặt đất ( và đi qua 2 điểm , nên có cặp vectơ chỉ phương là và

=> có vecto pháp tuyến là:

Như vậy phương trình của là:

5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Hoạt động 9 trang 41 toán 12 tập 2 ctst 

  Trong không gian , cho mặt phẳng có phương trình và điểm . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên (Hình 17).

a) Nêu nhận xét về phương của hai vectơ: 

và . 

b) Tính theo và toạ độ của .

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức .

d) Từ các kết quả trên suy ra cách tính .

Giải nhanh:

a) Vì là hình chiếu vuông góc của trên nên

Mà là vectơ pháp tuyến của nên 2 vecto và cùng phương

b)

  thuộc mặt phẳng nên

c) Theo kết quả của câu a) ta được 2 vecto và cùng phương

=>

Như vậy .

d)

Thực hành 7 trang 42 toán 12 tập 2 ctst 

  a) Tính chiều cao của hình chóp với toạ độ các đỉnh là , , , .

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và .

Giải nhanh:

a) Mặt phẳng đi qua 3 điểm , , nên có cặp vectơ chỉ phương là và

=> có 

Phương trình của là: 

Chiều cao của hình chóp chính là khoảng cách từ đỉnh đến .

b)

Vận dụng 6 trang 42 toán 12 tập 2 ctst 

  Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , chiều cao bằng và là tâm của đáy. Bằng cách thiết lập hệ trục toạ độ như Hình 18, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

Giải nhanh:

là tứ giác đều có cạnh đáy bằng nên: 

, ,

Mặt phẳng đi qua 3 điểm , , nên có cặp vectơ chỉ phương là và

=> có vecto pháp tuyến là:

Phương trình của là: 

GIẢI BÀI TẬP

Bài 1 trang 42 toán 12 tập 2 ctst 

Viết phương trình của mặt phẳng:

a) Đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến;

b) Đi qua điểm và song song với giá của mỗi vectơ và ; 

c) Đi qua ba điểm , và .

Giải nhanh:

a)

b)

c)

Bài 2 trang 42 toán 12 tập 2 ctst 

a) Lập phương trình của các mặt phẳng toạ độ , , .

b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ trên.

Giải nhanh:

a) Mặt phẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

Mặt phẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

Mặt phẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

b) Mặt phẳng song song với mặt phẳng nên có dạng:

thuộc nên:

Mặt phẳng song song với mặt phẳng nên có dạng:

thuộc nên:

Mặt phẳng song song với mặt phẳng nên có dạng:

thuộc nên:

Bài 3 trang 42 toán 12 tập 2 ctst 

Cho tứ diện có các đỉnh , , , .

a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng và .

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng đi qua cạnh và song song với cạnh .

Giải nhanh:

a) đi qua ba điểm , , nên có cặp vectơ chỉ phương là và , suy ra có 

Phương trình của là: 

đi qua ba điểm , , nên có cặp vectơ chỉ phương là và , suy ra có 

Phương trình của là: 

b) đi qua cạnh và song song với cạnh nên có cặp vectơ chỉ phương là và , suy ra có 

Phương trình của là: 

Bài 4 trang 42 toán 12 tập 2 ctst 

Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và song song với mặt phẳng .

Giải nhanh:

Bài 5 trang 42 toán 12 tập 2 ctst 

Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm , và vuông góc với mặt phẳng .

Giải nhanh:

Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là

Do ( nên //  

Mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương là và , suy ra có

Phương trình của là: 

Bài 6 trang 42 toán 12 tập 2 ctst 

 Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với hai mặt phẳng , .

Giải nhanh:

Vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng là: ,

nên //  

Mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương là , ,

  có vecto pháp tuyến là:

Phương trình của là: 

Bài 7 trang 43 toán 12 tập 2 ctst 

Tính khoảng cách từ gốc tọa độ và từ điểm đến mặt phẳng

Giải nhanh:

Bài 8 trang 43 toán 12 tập 2 ctst 

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và .

Giải nhanh:

Bài 9 trang 43 toán 12 tập 2 ctst 

Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với , , và . Bằng cách thiết lập hệ trục toạ độ như Hình 19, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

Giải nhanh:

Điểm

, ,

đi qua ba điểm , , nên có cặp vectơ chỉ phương là và

có vecto pháp tuyến là:

Phương trình của là: 

Bài 10 trang 43 toán 12 tập 2 ctst 

Một công trường xây dựng nhà cao tầng đã thiết lập hệ tọa độ . Hãy kiểm tra tính song song hoặc vuông góc giữa các mặt kính , , (Hình 20) của một tòa nhà, biết: 

;

;

 .

Giải nhanh:

Các mặt phẳng có vecto pháp tuyến lần lượt là: , ,

và . Như vậy

. Như vậy

Mà