BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1. Phương trình mặt cầu trong không gian

Hoạt động 1 trang 61 toán 12 tập 2 ctst

 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu có tâm và bán kính .

Xét một điểm thay đổi.

a) Tính khoảng cách IM theo và .

b) Nêu điều kiện cần và đủ của để điểm nằm trên mặt cầu .

Giải nhanh:

a)

b) Điểm nằm trên mặt cầu

=>

Như vậy điểm nằm trên mặt cầu .

Thực hành 1 trang 62 toán 12 tập 2 ctst

Viết phương trình mặt cầu :

a) Có tâm , bán kính ;

b) Có đường kính với và ; 

c) Có tâm và đi qua điểm .

Giải nhanh:

a) :

b) :

c)

Vận dụng 1 trang 62 toán 12 tập 2 ctst

Trong không gian (đơn vị của các trục toạ độ là mét), các nhà nghiên cứu khí tượng dùng một phần mềm mô phỏng bề mặt của một quả bóng thám không có dạng hình cầu bằng phương trình . Tìm toạ độ tâm, bán kính của quả bóng và tính khoảng cách từ tâm của quả bóng đến mặt đất có phương trình .

Giải nhanh:

Quả bóng thám không có tâm và 

Khoảng cách từ tâm của quả bóng đến mặt đất có phương trình là .

Hoạt động 2 trang 63 toán 12 tập 2 ctst

 a) Trong không gian , cho điểm thay đổi có toạ độ luôn thoả mãn phương trình . (*)

i) Biến đổi (*) về dạng:.

ii) Chứng tỏ luôn thuộc một mặt cầu . Tìm tâm và bán kính của .

b) Bằng cách biến đổi phương trình (**) về dạng, hãy cho biết phương trình (**) có thể là phương trình mặt cầu hay không.

Giải nhanh:

a)

i)

ii) Vì điểm thay đổi có toạ độ luôn thoả mãn phương trình nên điểm luôn thuộc mặt cầu có  và

b)

 ; ; nên

Do đó phương trình (**) không phải là phương trình mặt cầu 

Thực hành 1 trang 63 toán 12 tập 2 ctst

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm

và bán kính của mặt cầu đó.

a) ;

b) .

Giải nhanh:

a) Phương trình có , , ,

=> Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có  ,

b) Phương trình có , , ,

=> Phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu 

2.Vận dụng của phương trình mặt cầu

Vận dụng 2 trang 64 toán 12 tập 2 ctst

Bề mặt của một bóng thám không dạng hình cầu có phương trình:

Tìm toạ độ tâm và bán kính mặt cầu.

Giải nhanh:

 , , ,

Mặt cầu có tâm và 

Vận dụng 3 trang 64 toán 12 tập 2 ctst

Đầu in phun của một máy in 3D đang in bề mặt của một mặt cầu có phương trình:

Tính khoảng cách từ đầu in phun đến tâm mặt cầu.

Giải nhanh:

 , , ,

Mặt cầu có tâm và 

Vì đầu in phun đang in trên bề mặt của mặt cầu nên khoảng cách từ đầu in phun đến tâm mặt cầu bằng bán kính mặt cầu và bằng

GIẢI BÀI TẬP

Bài 1 trang 65 toán 12 tập 2 ctst

 Viết phương trình mặt cầu :

a) Có tâm , bán kính ;

b) Có tâm và đi qua điểm ;

c) Có đường kính với và .

Giải nhanh:

a) :

b) :

c) :

Bài 2 trang 65 toán 12 tập 2 ctst

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) ;

b) ;

c) .

Giải nhanh:

a) Phương trình có , , ,

=>

=> Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm ,

b) Phương trình có , , ,

=>

=> Phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu 

c) Phương trình có , , ,

=>

=> Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm , bán kính

Bài 3 trang 65 toán 12 tập 2 ctst

Cho hai điểm và . Chứng minh rằng nếu điểm thoả mãn thì thuộc một mặt cầu . Tìm tâm và bán kính của .

Giải nhanh:

  và

=>

Do đó điểm luôn thuộc một mặt cầu có tâm và 

Bài 4 trang 65 toán 12 tập 2 ctst

Phần mềm mô phỏng thiết bị thám hiểm đại dương có dạng hình cầu trong không gian . Cho biết toạ độ tâm mặt cầu là và bán kính . Viết phương trình mặt cầu.

Giải nhanh:

Bài 5 trang 65 toán 12 tập 2 ctst

Người ta muốn thiết kế một bồn chứa khí hóa lỏng hình cầu bằng phần mềm 3D. Cho biết phương trình bề mặt của bồn chứa là . Phương trình mặt phẳng chứa nắp là .

a) Tìm tâm và bán kính của bồn chứa.

b) Tính khoảng cách từ tâm bồn chứa đến mặt phẳng chứa nắp.

Giải nhanh:

a) nên có tâm và

b) Mặt phẳng chứa nắp có phương trình nên khoảng cách từ tâm bồn chứa đến mặt phẳng chứa nắp là: