BÀI 3: BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Khởi động 1 trang 58 toán 12 tập 1 ctst

Trong không gian , có thể thực hiện các phép toán vectơ dựa trên tọa độ của chúng tương tự như đã làm trong mặt phẳng không?

Giải nhanh:

Ta có thể thực hiện các phép toán vectơ dựa trên tọa độ của chúng tương tự như đã làm trên mặt phẳng tọa độ.

Khám phá 1 trang 58 toán 12 tập 1 ctst

Trong không gian , cho hai vectơ , với số thực . 

a) Biểu diễn từng vectơ theo ba vectơ .

b) Biểu diễn các vectơ theo ba vectơ , từ đó suy ra tọa độ của các vectơ

Giải nhanh:

a) ;

b)

Hoạt động thực hành 1 trang 59 toán 12 tập 1 ctst

Cho ba vectơ

a) Tìm tọa độ của vectơ

b) Tìm tọa độ của vectơ

c) Chứng minh cùng phương với vectơ

Giải nhanh:

a) 

b)

c) cùng phương với

Hoạt động vận dụng 1 trang 59 toán 12 tập 1 ctst

Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc  (Hình 1). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu của vùng biển là .

a) Tìm tọa độ của vectơ tổng hai vận tốc

b) Giả sử thiết bị thăm dò lặn với vận tốc , hãy nêu nhận xét về vectơ vận tốc của nó so với vectơ vận tốc của dòng hải lưu. 

Giải nhanh:

a)  

b) Vì . Vậy vectơ vận tốc của thiết bị thăm dò cùng hướng với vectơ vận tốc của dòng hải lưu.

2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Hoạt động khám phá 2 trang 59 toán 12 tập 1 ctst

Cho hai vectơ  , .

a) Biểu diễn từng vectơ theo ba vectơ .

b) Tính các tích vô hướng .

c) Tính tích vô hướng theo tọa độ của hai vectơ

Giải nhanh:

a) ; 

b) ;

c) =

Hoạt động thực hành 2 trang 60 toán 12 tập 1 ctst

Cho ba vectơ

a) Tính .

b) Tính .

c) Cho . Vectơ có vuông góc với không?

Giải nhanh:

a)  

b) = ; =

Hoạt động vận dụng 2 trang 60 toán 12 tập 1 ctst

Một thiết bị dò thăm đáy biển (HÌnh 2) được đẩy bởi lực (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời (đơn vị: m). Tính công lực sinh bởi lực .

Giải nhanh:

(N)

3. VẬN DỤNG

Hoạt động khám phá 3 trang 60 toán 12 tập 1 ctst

Cho hai điểm . Từ biểu thức , tìm tọa độ của vectơ theo tọa độ hai điểm và .

Giải nhanh:

;.

Hoạt động thực hành 3 trang 61 toán 12 tập 1 ctst

Cho ba điểm .

a) Tìm tọa độ của các vectơ

b) Tính các độ dài .

Giải nhanh:

a) ; 

;

 .

b)

Hoạt động khám phá 4 trang 61 toán 12 tập 1 ctst

Cho tam giác có . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng và là trọng tâm của tam giác . 

Sử dụng các hệ thức vectơ , tìm tọa độ của các điểm và .

Giải nhanh:

Ta có

Ta có:

Nên

Tương tự, ta có  

Nên

Hoạt động thực hành 4 trang 62 toán 12 tập 1 ctst

Cho tam giác có . Tìm tọa độ:

a) Các điểm lần lượt là trung điểm của các cạnh ;

b) Trọng tâm của tam giác .

Giải nhanh:

a) Tọa độ trung điểm của cạnh là =

Tọa độ trung điểm của cạnh là =

Tọa độ trung điểm của cạnh là =

b) =

Hoạt động vận dụng 3 trang 62 toán 12 tập 1 ctst

Cho hình chóp có , và đáy là tam giác đều cạnh a, là trung điểm của . Bằng cách thiết lập hệ tọa độ như Hình 3, hãy tìm tọa độ:

a) Các điểm .

b) Trung điểm của và trung điểm của .

c) Trọng tâm của tam giác .

Giải nhanh: 

a) Vì là tam giác đều cạnh a, là trung điểm của nên là đường cao. Từ đó suy ra và

→

Gọi là hình chiếu của trên . Ta có , vì cùng hướng với nên

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:  

→

b) Tọa độ trung điểm của là =

Tọa độ trung điểm của là =

c) Tọa độ của trọng tâm tam giác là: 

=

Hoạt động thực hành 5 trang 62 toán 12 tập 1 ctst

Cho tam giác có .

a) Tìm tọa độ điểm là chân đường cao kẻ từ của tam giác .

b) Tìm độ dài cạnh và .

c) Tính góc .

 Giải nhanh:

a) Ta có . 

Vì là chân đường vuông góc kẻ từ xuống nên và . 

Gọi , ta có .

Vì và cùng phương nên tồn tại sao cho .  

Vì vậy .

Khi đó . 

Vì nên 

Vậy

b) Ta có . 

Vậy độ dài cạnh và là:

c) Ta có:

Hoạt động vận dụng 4 trang 64 toán 12 tập 1 ctst

Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian , một đội gồm ba drone giao hàng đang có tọa độ là , , . Tính:

a) Các khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng.

b) Góc .

Giải nhanh:

a)

b)

4. BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA: 

Bài 1 trang 64 toán 12 tập 1 ctst

Tính: 

a)

b)

Giải nhanh:

a)  

b)  

Bài 2 trang 64 toán 12 tập 1 ctst

Cho hai vectơ và . Tính tọa độ của vectơ

Giải nhanh:

Có:  

Vậy tọa độ của vectơ là: 

=

Bài 3 trang 64 toán 12 tập 1 ctst 

Cho ba điểm và .

a) Chứng minh là ba đỉnh của một tam giác. Tính chu vi tam giác .

b) Tìm tọa độ trung điểm của các cạnh của tam giác .

c) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác .

Giải nhanh:

a) Ta có . Vì không có cùng phương nên không thẳng hàng. Vì vậy, là ba đỉnh của một tam giác.

Chu vi tam giác là:

=

b) Gọi lần lượt là trung điểm của cạnh . 

=

=

=

c) =

Bài 4 trang 64 toán 12 tập 1 ctst

Cho điểm . Hãy tìm tọa độ của các điểm:

a) lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng , , .

b) Gọi lần lượt là các điểm thỏa mãn:

• là trung điểm của ;

• vuông góc với mặt phẳng tại điểm sao cho là trung điểm của .

• vuông góc và cắt trục tại điểm sao cho là trung điểm của .

Giải nhanh:

a) Ta có , , .

b) là trung điểm của nên 

  . 

Vậy .

Vì nên . 

Ta có . 

⇒ ⇒  

⇒ ⇒

Vậy .

Vì là trung điểm của nên 

. 

Vậy .

Vì nên ⇒

Vì ⇒ ⇔ ⇔ .

Vì là trung điểm của nên 

. 

Vậy .

Bài 5 trang 64 toán 12 tập 1 ctst

Cho ba điểm , và .

a) Tìm điểm trên trục cách đều hai điểm .

b) Tìm điểm trên mặt phẳng cách đều ba điểm .

Giải nhanh:

Vì nên .

Vì cách đều hai điểm nên hay

. Vậy

b) Vì nên . Vì cách đều ba điểm nên hay

⇔

⇔ ⇔   

Vậy

Bài 6 trang 64 toán 12 tập 1 ctst

Cho các điểm , , , . Chứng minh rằng là hình thang.

Giải nhanh:

Ta có: . 

Vì nên và cùng phương. 

Mặt khác, và không cùng phương nên . 

=> Tứ giác là hình thang.

Bài 7 trang 64 toán 12 tập 1 ctst

Cho hình hộp có , , , . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Giải nhanh:

a) Gọi là một đỉnh của hình hộp chữ nhật . 

. Vậy

. Vậy

. Vậy

. Vậy