BÀI 3: BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Khởi động 1: Trong không gian , có thể thực hiện các phép toán vectơ dựa trên tọa độ của chúng tương tự như đã làm trong mặt phẳng không?

Giải rút gọn: 

Trong không gian , ta có thể thực hiện các phép toán vectơ dựa trên tọa độ của chúng tương tự như đã làm trên mặt phẳng tọa độ.

Khám phá 1: Trong không gian , cho hai vectơ , với số thực . 

a) Biểu diễn từng vectơ theo ba vectơ .

b) Biểu diễn các vectơ theo ba vectơ , từ đó suy ra tọa độ của các vectơ

Giải rút gọn: 

a) ;

b)

Và

Và

Thực hành 1: Cho ba vectơ

a) Tìm tọa độ của vectơ

b) Tìm tọa độ của vectơ

c) Chứng minh  cùng phương với vectơ

Giải rút gọn: 

a) Ta có:

Khi đó

b) Ta có

Suy ra

c) Ta có . 

Vậy  cùng phương với

Vận dụng 1: Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc   (Hình 1). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu của vùng biển là .

a) Tìm tọa độ của vectơ tổng hai vận tốc

b) Giả sử thiết bị thăm dò lặn với vận tốc , hãy nêu nhận xét về vectơ vận tốc của nó so với vectơ vận tốc của dòng hải lưu. 

Giải rút gọn: 

a)  

b) Ta có: . Vậy vectơ vận tốc của thiết bị thăm dò cùng hướng với vectơ vận tốc của dòng hải lưu.

2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Khám phá 2: Cho hai vectơ  , .

a) Biểu diễn từng vectơ theo ba vectơ .

b) Tính các tích vô hướng .

c) Tính tích vô hướng theo tọa độ của hai vectơ

Giải rút gọn: 

a) ;

b) ;

c)  = ). =

Thực hành 2: Cho ba vectơ

a) Tính .

b) Tính .

c) Cho . Vectơ  có vuông góc với  không?

Giải rút gọn: 

a) ; 

b) = ; =

Vận dụng 2: Một thiết bị dò thăm đáy biển (HÌnh 2) được đẩy bởi lực (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời (đơn vị: m). Tính công lực sinh bởi lực .

Giải rút gọn: 

Công sinh ra bởi lực khi thực hiện độ dời là:

(N)

3. VẬN DỤNG

Khám phá 3: Cho hai điểm . Từ biểu thức , tìm tọa độ của vectơ  theo tọa độ hai điểm  và .

Giải rút gọn: 

Ta có: ;.

Nên  

Thực hành 3: Cho ba điểm .

a) Tìm tọa độ của các vectơ

b) Tính các độ dài .

Giải rút gọn: 

a) ; 

;

 .

b)

Khám phá 4: Cho tam giác  có . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng  và  là trọng tâm của tam giác . 

Sử dụng các hệ thức vectơ , tìm tọa độ của các điểm  và .

Giải rút gọn:  

Ta có

Ta có

Hay  

Nên

Tương tự, ta có  

Nên

Thực hành 4: Cho tam giác  có . Tìm tọa độ:

a) Các điểm  lần lượt là trung điểm của các cạnh ;

b) Trọng tâm  của tam giác .

Giải rút gọn:  

a) Tọa độ trung điểm  của cạnh  là  hay

Tọa độ trung điểm của cạnh  là  hay

Tọa độ trung điểm của cạnh  là hay

b) Tọa độ trọng tâm  là:  hay

Vận dụng 3: Cho hình chóp  có ,  và đáy  là tam giác đều cạnh a,  là trung điểm của . Bằng cách thiết lập hệ tọa độ như Hình 3, hãy tìm tọa độ:

a) Các điểm .

b) Trung điểm  của  và trung điểm  của .

c) Trọng tâm  của tam giác .

Giải rút gọn:  

a) Vì  là tam giác đều cạnh a,  là trung điểm của  nên  là đường cao. Từ đó suy ra  và

→  

Gọi  là hình chiếu của  trên . Ta có , vì  cùng hướng với  nên

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:  

→  

b) Tọa độ trung điểm  của  là  hay

Tọa độ trung điểm  của  là  hay

c) Tọa độ của trọng tâm  tam giác  là: 

hay

Thực hành 5: Cho tam giác  có .

a) Tìm tọa độ điểm là chân đường cao kẻ từ  của tam giác .

b) Tìm độ dài cạnh và .

c) Tính góc .

 Giải rút gọn:  

a) Ta có . 

Vì  là chân đường vuông góc kẻ từ  xuống  nên  và . 

Gọi , ta có .

Vì  và  cùng phương nên tồn tại  sao cho . 

Do đó   .

Vì vậy .

Khi đó . 

Vì  nên . 

Vậy .

b) Ta có . 

Vậy độ dài cạnh  và  là:

c) Ta có:

Vận dụng 4: Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian , một đội gồm ba drone giao hàng  đang có tọa độ là , , . Tính:

a) Các khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng.

b) Góc .

Giải rút gọn: 

a) Ta có . 

Khi đó:  và

b) Ta có

4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA

Giải rút gọn bài 1 trang 64 sách toán 12 tập 1 ctst: Tính: 

a)

b)

Giải rút gọn: 

a)  

b)  

Giải rút gọn bài 2 trang 64 sách toán 12 tập 1 ctst Cho hai vectơ  và . Tính tọa độ của vectơ

Giải rút gọn: 

Có:  

Vậy tọa độ của vectơ  là: 

hay

Giải rút gọn bài 3 trang 64 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho ba điểm  và .

a) Chứng minh  là ba đỉnh của một tam giác. Tính chu vi tam giác .

b) Tìm tọa độ trung điểm của các cạnh của tam giác .

c) Tìm tọa độ trọng tâm  của tam giác .

Giải rút gọn: 

a) Ta có . Vì  không có cùng phương nên  không thẳng hàng. Vì vậy,  là ba đỉnh của một tam giác.

Chu vi tam giác là:

=

b) Gọi lần lượt là trung điểm của cạnh . 

Tọa độ điểm  là  hay

Tọa độ điểm  là  hay

Tọa độ điểm  là  hay

c) Tọa độ trọng tâm  của tam giác  là  hay

Giải rút gọn bài 4 trang 64 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho điểm . Hãy tìm tọa độ của các điểm:

a)  lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng , , .

b) Gọi  lần lượt là các điểm thỏa mãn:

•  là trung điểm của ;

•  vuông góc với mặt phẳng  tại điểm  sao cho  là trung điểm của .

•  vuông góc và cắt trục  tại điểm  sao cho  là trung điểm của .

Giải rút gọn: 

a) Ta có , , .

b)  là trung điểm của  nên 

  . 

Vậy .

Vì  nên . 

Ta có . 

⇒  ⇒  

⇒  ⇒

Vì vậy .

Vì  là trung điểm của  nên 

. 

Vậy .

Vì nên ⇒

Vì  ⇒ ⇔  ⇔ .

Vì là trung điểm của nên

. 

Vậy .

Giải rút gọn bài 5 trang 64 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho ba điểm ,  và .

a) Tìm điểm  trên trục  cách đều hai điểm .

b) Tìm điểm  trên mặt phẳng  cách đều ba điểm .

Giải rút gọn: 

Vì  nên .

Vì  cách đều hai điểm  nên  hay

 . Vậy

b) Vì nên . Vì cách đều ba điểm nên hay

⇔

⇔ ⇔ .  

Vậy

Giải rút gọn bài 6 trang 64 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho các điểm , , , . Chứng minh rằng  là hình thang.

Giải rút gọn: 

Ta có: . Vì  nên  và  cùng phương. 

Mặt khác,  và  không cùng phương nên . Từ đó suy ra tứ giác  là hình thang.

Giải rút gọn bài 7 trang 64 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho hình hộp  có , , , . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Giải rút gọn: 

a) Gọi là một đỉnh của hình hộp chữ nhật . 

Ta có:

. Vậy .

Ta có:

. Vậy .

Ta có:

. Vậy .

Ta có:

. Vậy .