BÀI 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1. ĐỊNH NGHĨA

Hoạt động 1: Hình 1 cho biết sự thay đổi của nhiệt độ ở một thành phố trong một ngày: 

a) Khẳng định nào sau đây đúng? Vì sao?

i) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là 28°C

ii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là 40°C

iii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là 34°C

b) Hãy xác định thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày. 

c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu? 

Giải rút gọn:

a) Nhìn vào đồ thị, ta nhận thấy khẳng định iii) đúng vì điểm cao nhất của đồ thị là 34°C.

b) Thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày là 16 giờ (34°C)

c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là 20°C.

Thực hành 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 

a) trên đoạn ;

b) trên khoảng ; 

c) . 

Giải rút gọn:

a) Ta có:

hoặc (thỏa mãn điều kiện xác định) 

Bảng biến thiên trên đoạn

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy trên đoạn và

b) Ta có:

(thoả mãn) hoặc (không thoả mãn)

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy trên khoảng và không tồn tại giá trị lớn nhất 

c) Tập xác định:

Ta có:

(ĐKXĐ: )

hoặc (thỏa mãn điều kiện xác định)

Bảng biến thiên: 

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy trên đoạn và . 

Vận dụng: Sử dụng đạo hàm và lập bảng biến thiên, trả lời câu hỏi trong phần khởi động (trang 14)

Giải rút gọn:

Xét hàm số

Tập xác định:

Ta có:

(thoả mãn) hoặc  (không thoả mãn)

Bảng biến thiên: 

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy trên đoạn và . 

2. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN

Hoạt động 2: Hình 3 cho ta đồ thị của ba hàm số

;

;

trên đoạn

a) Hàm số nào đạt giá trị lớn nhất tại một điểm cực đại của nó?

b) Các hàm số còn lại đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào?

a) Trên đoạn hàm số đạt giá trị cực đại tại và ; đồng thời đạt giá trị lớn nhất tại và

b) Trên đoạn

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại và

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại và

Thực hành 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . 

Giải rút gọn:

Tập xác định:  

Ta có:  

(thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy trên đoạn : ;

Thực hành 3: Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm có thể có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Giải rút gọn:

Gọi độ dài một cạnh góc vuông là  

Cạnh còn lại có độ dài là  

Diện tích tam giác vuông là:

Tập xác định:

Ta có:

Tập xác định mới:

(thoả mãn) hoặc (không thoả mãn)

Vậy trên nửa đoạn :

Vậy diện tích lớn nhất của tam giác là 

3. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA

Giải rút gọn bài 1 trang 18 sách toán 12 tập 1 ctst: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở Hình 5.

Giải rút gọn:

a) Quan sát đồ thị, ta nhận thấy trên đoạn :

b) Quan sát đồ thị, ta nhận thấy trên đoạn :

Giải rút gọn bài 2 trang 18 sách toán 12 tập 1 ctst: Tìm các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 

a) trên đoạn

b) trên đoạn

c) trên đoạn

d) trên đoạn

Giải rút gọn:

a) Ta có:

hoặc (loại)

Vậy trên đoạn : ;

b) Ta có

hoặc

Vậy trên đoạn : ;

c) Tập xác định  

Ta có:

Vì nên  

Hàm số nghịch biến trên   

Vậy trên đoạn ;

d) Ta có:

Vậy trên đoạn ;

Giải rút gọn bài 3 trang 18 sách toán 12 tập 1 ctst: Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a trên nửa khoảng ; 

b) trên khoảng

Giải rút gọn:

a) Ta có:

hoặc (thoả mãn)

Bảng biến thiên trên nửa khoảng :

Từ bảng biến thiên, ta thấy trên nửa khoảng : 

b) Tập xác định:

Ta có: y’ =

Vì  

Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng

Giải rút gọn bài 4 trang 18 sách toán 12 tập 1 ctst: Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa sổ có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng 4m (Hình 6). Tìm kích thước khung cửa sổ sao cho diện tích cửa sổ lớn nhất (để hứng được nhiều ánh sáng nhất)?

Giải rút gọn:

Nửa chu vi của cửa sổ bằng: (m).

Gọi chiều dài của cửa sổ là (m)

Suy ra chiều rộng của cửa sổ là: (m) 

Diện tích của cửa sổ là: ().

Ta có: (thỏa mãn điều kiện xác định) 

Bảng biến thiên: 

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy trên đoạn :

Vậy để diện tích cửa sổ lớn nhất bằng thì chiều dài và chiều rộng bằng nhau và bằng . 

Giải rút gọn bài 5 trang 18 sách toán 12 tập 1 ctst: Tìm các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: .

Giải rút gọn:

Tập xác định:

Ta có:  

(thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy trên đoạn : 

;

Giải rút gọn bài 6 trang 18 sách toán 12 tập 1 ctst: Khối lượng (kg) của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán (nghìn đồng/kg) theo công thức Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức

a) Viết công thức biểu diễn theo .

b) Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất và xác định doanh thu cao nhất đó.

Giải rút gọn:

a) Ta có:

Suy ra:

b) Tập xác định:

Ta có:

Bảng biến thiên: 

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy trên khoảng : 

Vậy nếu giá bán mỗi kilôgam sản phẩm là 7,5 nghìn đồng/kg thì sẽ đạt được doanh thu cao nhất là 112,5 nghìn đồng

Giải rút gọn bài 7 trang 18 sách toán 12 tập 1 ctst: Hộp sữa được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh cm. Tìm để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất.

Giải rút gọn:

Gọi chiều cao của hộp là

Thể tích của hộp là:

Diện tích toàn phần của hộp là:

  (Tập xác định: )

Ta có: x = 1 (thỏa mãn điều kiện xác định)

Bảng biến thiên: 

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy trên đoạn

Vậy thì diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất và bằng .