BÀI 3. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

1. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị một hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b

Hoạt động 1: 

Gọi d là đồ thị của hàm số y = f(x) = 6 – 2x. Kí hiệu S₁ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, trục hoành và trục tung; S₂, là diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, trục hoành và đường thẳng x = 5 (Hình 1).

Giải rút gọn:

Thực hành 1: 

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = 2x − x², trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3.

Giải rút gọn:

Thực hành 2: 

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = cos x − 2, trục hoành và hai đường thẳng 

Giải rút gọn:

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b

Hoạt động 2: 

Cho hai hàm số y = 4x− x² và y = x lần lượt có đồ thị (P) và d như Hình 4.

a) Tính diện tích S₁ của hình phẳng giới hạn bởi (P), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

b) Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi (P), d và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Giải rút gọn:

b) 

Thực hành 3: 

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x² - 2x - 1, y=x−1 và hai đường thẳng x = 1, x = 4.

Giải rút gọn:

Thực hành 4: 

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = 5x - x², y= x² - x và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Giải rút gọn:

Vận dụng 1: 

Mặt cắt của một cửa hầm có dạng là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như Hình 7. Tính diện tích của cửa hầm. 

Giải rút gọn:

Xác định trục tọa độ Oxy như hình, với A(0;6), B(3;0), C(-3;0)

Phương trình của đồ thị parabol có dạng: y = f(x) = ax² + bx + c

Vì 3 điểm A(0;6), B(3;0), C(-3;0) thuộc đồ thị hàm số nên ta có:

a.0² + b.0 + c = 6

a.3² + b.3 + c = 0

a.(-3)² + b.(-3) + c = 0

2. TÍNH THỂ TÍCH HÌNH KHỐI

Hoạt động 3: 

Giải rút gọn:

Thực hành 5: 

Giải rút gọn:

Thể tích khối tròn xoay

Hoạt động 4: 

Giải rút gọn:

Thực hành 6: 

Giải rút gọn:

Vận dụng 2: 

Sử dụng tích phân, tính thể tích khối nón có bán kính đáy r và chiều cao h (Hình 16).

Giải rút gọn:

Kẻ hệ trục toạ độ Oxy như hình dưới.

GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1: 

Giải rút gọn:

Bài 2: 

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x³ - x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Giải rút gọn:

Bài 3: 

Giải rút gọn:

Bài 4: 

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x³ + 1, y = 2 và hai đường thẳng x = -1, x = 2.

Giải rút gọn:

Bài 5: 

Giải rút gọn:

Bài 6: 

Giải rút gọn:

Bài 7: 

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình thang OABC có A(0; 1), B(2; 2) và C(2; 0) (Hình 19). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang OABC quanh trục Ox.

Giải rút gọn:

Bài 8: 

Sử dụng tích phân, tính thể tích của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h (Hình 20).

Giải rút gọn: