BÀI 3. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

1. Tính diện tích hình phẳng

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị một hàm số, trục hoành và hai đường thẳng ,

Hoạt động 1: Gọi là đồ thị của hàm số . Kí hiệu là diện tích hình phẳng giới hạn bởi , trục hoành và trục tung; , là diện tích hình phẳng giới hạn bởi , trục hoành và đường thẳng (Hình 1).

a) Tính , và so sánh với .

b) Tính , và so sánh với .

c) So sánh với .

Giải nhanh:

a)

b)

c)  

Thực hành 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , .

Giải nhanh:

Ta có:

hoặc

Với thì

Với thì

Thực hành 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , .

Giải nhanh:

Với thì (do )

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số và hai đường thẳng ,

Hoạt động 2: Cho hai hàm số và lần lượt có đồ thị và như Hình 4.

a) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi , trục hoành và hai đường thẳng , .

b) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi , và hai đường thẳng , .

Giải nhanh:

a)

b) 

Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi , và hai đường thẳng , là:

Thực hành 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số , và hai đường thẳng , .

Giải nhanh:

Ta có: hoặc

Phương trình chỉ có nghiệm 1 thuộc đoạn là

Thực hành 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số , và hai đường thẳng , .

Giải nhanh:

Ta có: hoặc

Phương trình chỉ có nghiệm 1 thuộc đoạn là

Vận dụng 1: Mặt cắt của một cửa hầm có dạng là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như Hình 7. Tính diện tích của cửa hầm. 

Giải nhanh:

Xác định trục tọa độ như hình, với

Phương trình của đồ thị parabol có dạng:

Vì 3 điểm thuộc đồ thị hàm số nên ta có:

=>

Như vậy, diện tích của cửa hầm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số và trục hoành, và bằng:

2. Tính thể tích hình khối

Hoạt động 3: Trong không gian, cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , , . Đặt trục số như Hình 8. Một mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ , cắt hình chóp theo mặt cắt là hình vuông . Kí hiệu là diện tích của hình vuông .

a) Tính theo , và .

b) Tính và so sánh với thể tích của khối chóp .

Giải nhanh:

a) Vì mặt cắt vuông góc với trục nên

Lại có

=>

Xét và có  

hay

b)

Thực hành 5: Một bình chứa nước có hình dạng như Hình 11. Biết rằng khi nước trong bình có chiều cao (dm) thì mặt nước là hình vuông có cạnh (dm). Tính dung tích của bình.

Giải nhanh:

Chọn trục vuông góc với 2 mặt đáy của bình nước, sao cho 2 đáy bình nằm trong 2 mặt phẳng và

Mặt nước vuông góc với trục tại điểm có hoành độ cắt bình nước theo mặt cắt có diện tích không đổi .

Thể tích khối tròn xoay

Hoạt động 4: Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và đường thẳng (Hình 12a). Quay hình xung quanh trục thì được một khối nón, kí hiệu là (Hình 12b).

a) Cắt khối bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ thì mặt cắt là hình gì? Tính diện tích của mặt cắt đó.

b) Sử dụng công thức tính thể tích hình khối, tính thể tích của khối nón .

Giải nhanh:

a) Khi cắt khối bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ thì mặt cắt là hình tròn có bán kính bằng

b)

Thực hành 6: Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , (Hình 15). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục .

Giải nhanh:

Giải nhanh:

a) Khi cắt khối bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ thì mặt cắt là hình tròn có bán kính bằng

b)

Thực hành 6: Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , (Hình 15). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục .

Giải nhanh:

Vận dụng 2: Sử dụng tích phân, tính thể tích khối nón có bán kính đáy và chiều cao (Hình 16).

Giải nhanh:

Kẻ hệ trục toạ độ như hình dưới.

Đường thẳng đi qua 2 điểm và

Do đó đường thẳng có phương trình:

hay

là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và đường thẳng . Khi quay hình quanh trục ta được một khối nón. Do đó thể tích của khối nón là:

GIẢI BÀI TẬP

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a) Đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , .

b) Đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , .

Giải nhanh:

a) Diện tích hình phẳng cần tính:

Với thì

Vậy

b) Diện tích hình phẳng cần tính là

Với thì

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , .

Giải nhanh:

Diện tích hình phẳng cần tính là

  hoặc hoặc

Phương trình chỉ có 2 nghiệm thuộc đoạn là và

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số , và hai đường thẳng , .

Giải nhanh:

Diện tích hình phẳng cần tính là:

Với thì

Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số , và hai đường thẳng , .

Giải nhanh:

Diện tích hình phẳng cần tính là

Ta có:

Bài 5: Khi cắt một vật thể hình chiếc nêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ , mặt cắt là tam giác vuông có một góc 45° và độ dài một cạnh góc vuông là (dm) (Hình 17). Tính thể tích của vật thể.

Giải nhanh:

Cạnh góc vuông còn lại của tam giác vuông là:

Bài 6: Cho là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục tung và trục hoành (Hình 18). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục .

Giải nhanh:

Bài 7: Trong mặt phẳng toạ độ , cho hình thang có , và (Hình 19). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang quanh trục .

Giải nhanh:

Đường thẳng đi qua 2 điểm , nên có phương trình là:

hay

Bài 8: Sử dụng tích phân, tính thể tích của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng và chiều cao bằng (Hình 20).

Giải nhanh:

Chọn trục sao cho gốc trùng với đỉnh của hình chóp tứ giác đều và trục đi qua tâm của đáy 

Khi đó, đáy của khối chóp nằm trên mặt phẳng vuông góc với tại

Mỗi mặt vuông góc với trục tại điểm có hoành độ , cắt hình chóp theo mặt cắt là hình vuông có diện tích