BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Phương trình đường thẳng trong không gian. Vecto chỉ phương của đường thẳng

Hoạt động 1 trang 44 toán 12 tập 2 ctst

 Trong không gian Oxyz, cho điểm , cố định và vectơ khác . Có bao nhiêu đường thẳng đi qua , và song song hoặc trùng với giá của ?

Giải nhanh:

Chỉ có duy nhất một đường thẳng

Thực hành 1 trang 44 toán 12 tập 2 ctst

Trong không gian , cho hình lăng trụ tam giác với , , , . Tìm toạ độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng , và .

Giải nhanh:

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Hoạt động 2 trang 44 toán 12 tập 2 ctst

Trong không gian , cho đường thẳng đi qua điểm cố định và có vectơ chỉ phương là khác .

a) Giải thích tại sao ta có thể viết: .

b) Với thuộc , hãy tính theo và .

Giải nhanh:

a) Khi điểm thuộc đường thẳng thì 2 vecto và cùng phương

b)

Thực hành 2 trang 46 toán 12 tập 2 ctst

Cho đường thẳng có phương trình tham số

a) Tìm hai vectơ chỉ phương của .

b) Tìm ba điểm trên .

Giải nhanh:

a) ;

b) ; ;  

Thực hành 3 trang 46 toán 12 tập 2 ctst

Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và nhận

làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng có đi qua có điểm không?

Giải nhanh:

Phương trình tham số của là:

Thay vào phương trình  =>

Thay vào phương trình , ta được (luôn đúng)

Thay vào phương trình =>

Vậy đường thẳng có đi qua có điểm

Phương trình chính tắc của đường thẳng

Hoạt động 3 trang 46 toán 12 tập 2 ctst

 Cho đường thẳng có phương trình tham số với đều khác 0. Lấy điểm bất kỳ thuộc . So sánh các biểu thức: ;;.

Giải nhanh:

Do điểm thuộc nên thay toạ độ của vào, ta có:

=>

Thực hành 4 trang 46 toán 12 tập 2 ctst 

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm và nhận làm vectơ chỉ phương.

Giải nhanh:

3. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm

Hoạt động 4 trang 47 toán 12 tập 2 ctst

Cho đường thẳng d đi qua hai điểm và .

a) Tìm một vectơ chỉ phương của .

b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của .

Giải nhanh:

a) .

b) Phương trình tham số của là: 

=>

Phương trình chính tắc của là: 

Thực hành 5 trang 47 toán 12 tập 2 ctst

Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng , biết và .

Giải nhanh:

Đường thẳng đi qua 2 điểm và có vecto chỉ phương và có phương trình tham số là: 

=>

Phương trình chính tắc là: 

Vận dụng 1 trang 47 toán 12 tập 2 ctst

Một mô hình cầu treo được thiết kế trong không gian như Hình 4. Viết phương trình tham số của làn đường d đi qua hai điểm và .

Giải nhanh:

d đi qua hai điểm và có vectơ chỉ phương là và có phương trình tham số là:

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Điều kiện để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Khám phá 5 trang 48 toán 12 tập 2 ctst

Cho ba đường thẳng:

và

a) Nêu nhận xét về ba vectơ chỉ phương của , và .

b) Xét điểm nằm trên . Điểm có nằm trên hoặc không?

c) Từ các kết quả trên, ta có thể kết luận gì về vị trí tương đối giữa và , và ?

Giải nhanh:

a) , ,

b) Thay toạ độ của vào phương trình tham số của , ta được:

=> (vô nghiệm)

Vậy không thuộc

Thay toạ độ của vào phương trình tham số của , ta được:

=>  

(có một giá trị t thỏa mãn)

Vậy thuộc

c) Xét hai đường thẳng và có 2 vectơ chỉ phương lần lượt là , với: ; nên .

Xét hai đường thẳng và có 2 vectơ chỉ phương lần lượt là , với: ; nên . 

Thực hành 6 trang 49 toán 12 tập 2 ctst

Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các cặp đường thẳng sau:

a) và ;

b) và .

Giải nhanh:

a) Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

=>  Ba vecto cùng phương

Như Vậy .

b) Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

=> 2 vecto cùng phương 

Và => 2 vecto không cùng phương 

Như vậy

Vận dụng 2 trang 49 toán 12 tập 2 ctst

Trên một máy khoan bàn đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ. Nêu nhận xét về vị trí giữa trục của mũi khoan và trục của giá đỡ có phương trình lần lượt là:

 và  

Giải nhanh:

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

=> 2 vecto cùng phương 

=> 2 vecto không cùng phương 

Như vậy trục của mũi khoan và trục của giá đỡ // với nhau.

Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau

Hoạt động 6 trang 50 toán 12 tập 2 ctst

Cho ba đường thẳng

                              và

a) Đường thẳng và đường thẳng có song song hay trùng với đường thẳng không?

b) Giải hệ phương trình (ẩn và )

Từ đó nhận xét về vị trí tương đối giữa và

c) Giải hệ phương trình (ẩn và )

Từ đó nhận xét về vị trí tương đối giữa và

Giải nhanh:

a) Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

Vì nên 2 vecto không cùng phương 

=> Đường thẳng và đường thẳng không song song hay trùng với đường thẳng

b)

=> ;

Thay giá trị ; vào phương trình (3) ta được:

(luôn đúng)

=> ;

Hệ phương trình đã cho có 1 cặp nghiệm duy nhất chứng tỏ 2 đường thẳng và cắt nhau tại 1 điểm 

c)

=> ;

Thay giá trị ; vào phương trình (3) ta được:

(vô lý)

=> Hệ phương trình vô nghiệm

=> 2 đường thẳng và chéo nhau

Thực hành 7 trang 52 toán 12 tập 2 ctst

Xét vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng d và d’ trong mỗi trường hợp sau:

a) và ;

b) và .

Giải nhanh:

a) Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

=> và không cùng phương

 ;

Khi đó

Như vậy và cắt nhau

b) Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

=> và không cùng phương

;

Khi đó

Như vậy và chéo nhau

Vận dụng 3 trang 52 toán 12 tập 2 ctst

 Trên phần mềm thiết kế cầu treo, cho đường thẳng trên trụ cầu và đường thẳng trên sàn cầu có phương trình lần lượt là:

 và

Xét vị trí tương đối giữa và .

Giải nhanh:

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

Hai vecto và không cùng phương

;

Khi đó

=> Đường thẳng trên trụ cầu và đường thẳng trên sàn cầu chéo nhau

Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Hoạt động 7 trang 52 toán 12 tập 2 ctst

 Cho hai đường thẳng  và

a) Tìm vecto chỉ phương và lần lượt của và .

b) Tính tích vô hướng . Từ đó, có nhận xét gì về hai đường thẳng và ?

Giải nhanh:

a) và có vecto chỉ phương lần lượt là ,

b) =>

=>  và vuông góc với nhau

Thực hành 8 trang 53 toán 12 tập 2 ctst 

Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:

a) và ;

b)  và           .

Giải nhanh:

a) và có vecto chỉ phương lần lượt là ,

=> và vuông góc với nhau

b) và có vecto chỉ phương lần lượt là ,

=> và không vuông góc với nhau

Vận dụng 4 trang 53 toán 12 tập 2 ctst

 Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian Cho biết trục của nòng súng và cọc đỡ bia có phương trình lần lượt là:

 và

Xét vị trí tương đối giữa và , chúng có vuông góc với nhau không?

Giải nhanh:

và có vecto chỉ phương lần lượt là ,

 => và vuông góc với nhau

3. Góc. Góc giữa hai đường thẳng

Hoạt động 8 trang 53 toán 12 tập 2 ctst

 Cho hai đường thẳng và có vectơ chỉ phương lần lượt là và .

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng và trong không gian.

b) Vectơ có phải là một vectơ chỉ phương của không? 

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức

d) Nêu cách tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng theo cosin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

Giải nhanh:

a) Góc giữa 2 đường thẳng trong không gian, kí hiệu là góc giữa hai đường thẳng và cùng đi qua một điểm và lần lượt // hoặc trùng với và  

b) => và cùng phương. Do đó là một vectơ chỉ phương của

c) Vì và là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng và , và theo định nghĩa góc giữa 2 đường thẳng trong không gian nên:

=>

d) Cosin giữa hai đường thẳng bằng giá trị tuyệt đối của cosin của góc giữa hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng đó.

Thực hành 9 trang 55 toán 12 tập 2 ctst

Tính góc giữa hai đường thẳng và trong mỗi trường hợp sau:

a)  và   .

b) và ;

c)  và

Giải nhanh:

a)

=>

b)

=>

c)

=>

Vận dụng 5 trang 55 toán 12 tập 2 ctst

Trên một phần mềm đã thiết kế sân khấu 3D trong không gian . Tính góc giữa hai tia sáng có phương trình lần lượt là:

   và   

Giải nhanh:

=>

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Hoạt động 9 trang 55 toán 12 tập 2 ctst

Cho đường thẳng có vectơ chỉ phương là và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến . Biết cắt tại điểm và hình chiếu vuông góc của lên là đường thẳng . Qua vẽ đường thẳng vuông góc với (Hình 12).

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.

b) Có nhận xét gì về số đo hai góc ; ? 

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức:

Giải nhanh:

a) Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta nói góc giữa đường thẳng với bằng .

Nếu đường thẳng không vuông góc với thì góc giữa và hình chiếu của trên gọi là góc giữa đường thẳng và

b) .

c)

Thực hành 10 trang 56 toán 12 tập 2 ctst

 Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:

a) và ;

b) và .

c) và .

Giải nhanh:

a)

=> .

b)

=> .

c)

=> .

Vận dụng 6 trang 56 toán 12 tập 2 ctst

Trên một sân khấu đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ Oxyz. Tính góc giữa tia sáng có phương trình và mặt sàn sân khấu có phương trình .

Giải nhanh:

=>

Như vậy góc giữa tia sáng và mặt sàn sân khấu bằng

Góc giữa hai mặt phẳng

Hoạt động 10 trang 57 toán 12 tập 2 ctst

Cho hai mặt phẳng và có vectơ pháp tuyến lần lượt là , (Hình 14).

Gọi và là hai đường thẳng lần lượt vuông góc với và . Góc giữa hai mặt phẳng và là góc giữa hai đường thẳng và .

So sánh và .

Giải nhanh:

Thực hành 11 trang 58 toán 12 tập 2 ctst 

Tính góc giữa hai mặt phẳng và trong mỗi trường hợp sau: 

a) và ; 

b) và ; 

c) và .

Giải nhanh:

a)

=>

b)

=>

c)

=>

Thực hành 12 trang 59 toán 12 tập 2 ctst

 Trong không gian , cho hình hộp chữ nhật . Cho biết , , , . Tính góc giữa:

a) hai đường thẳng và ;

b) hai mặt phẳng và ;

c) đường thẳng và mặt phẳng .

Giải nhanh:

a)

b)

Mặt phẳng có một cặp vectơ chỉ phương là và nên có 

Mặt phẳng có một cặp vectơ chỉ phương là và nên có 

=>

c) Ta có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn là:

<=>

Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là

Đường thẳng có vecto chỉ phương là

=>

Vận dụng 7 trang 59 toán 12 tập 2 ctst 

 Để làm thí nghiệm về chuyển động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ . Tính góc giữa mặt phẳng nghiêng và mặt sàn .

Giải nhanh:

Mặt phẳng và có: ,

=>

GIẢI BÀI TẬP

Bài 1 trang 59 toán 12 tập 2 ctst 

Viết phương trình tham số của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . 

b) Đường thẳng đi qua hai điểm và .

Giải nhanh:

a)

b)

Bài 2 trang 59 toán 12 tập 2 ctst 

 Viết phương trình chính tắc của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . 

b) Đường thẳng đi qua hai điểm và .

Giải nhanh:

a)

b)

Bài 3 trang 59 toán 12 tập 2 ctst 

Cho đường thẳng có phương trình chính tắc

a) Tìm một vectơ chỉ phương của và một điểm trên . 

b) Viết phương trình tham số của .

Giải nhanh:

a) và

b)

Bài 4 trang 59 toán 12 tập 2 ctst 

Trong trò chơi mô phỏng bắn súng 3D trong không gian , một xạ thủ đang ngắm với toạ độ khe ngắm và đầu ruồi lần lượt là , . Viết phương trình tham số của đường ngắm bắn của xạ thủ (xem như đường thẳng ).

Giải nhanh:

Bài 5 trang 60 toán 12 tập 2 ctst 

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a)  và

b)  và           .

Giải nhanh:

a) Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

=> 2 vecto cùng phương 

Và => 2 vecto không cùng phương 

Như vậy

b) Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

=> 2 vecto không cùng phương 

,

Khi đó

Như vậy và chéo nhau

Bài  6 trang 60 toán 12 tập 2 ctst 

 Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng .

Giải nhanh:

Bài 7 trang 60 toán 12 tập 2 ctst 

Trên phần mềm mô phỏng 3D một máy khoan trong không gian , cho biết phương trình trục của mũi khoan và một đường rãnh trên vật cần khoan (Hình 18) lần lượt là:

 và

a) Chứng minh , vuông góc và cắt nhau.

b) Tìm giao điểm của và .

Giải nhanh:

a) và có vecto chỉ phương lần lượt là ,

Vậy và vuông góc với nhau

b)

=> và

Thay và phương trình tham số của trục ta được:

Như vậy giao điểm của và là

Bài 8 trang 60 toán 12 tập 2 ctst 

Tính góc giữa hai đường thẳng  và .

Giải nhanh:

,

Bài 9 trang 60 toán 12 tập 2 ctst 

Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .

Giải nhanh:

Bài 10 trang 60 toán 12 tập 2 ctst 

Tính góc giữa hai mặt phẳng và .

Giải nhanh:

Bài 11 trang 60 toán 12 tập 2 ctst 

Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ . Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và .

a) Tính góc giữa và

b) Tính góc hợp bởi và với mặt đất có phương trình .

Giải nhanh:

a)

b)

Bài 12 trang 60 toán 12 tập 2 ctst 

Trong không gian , cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại . Cho biết , , . Tính góc giữa:

a) hai đường thẳng và ;

b) hai mặt phẳng và ;

c) đường thẳng và mặt phẳng .

Giải nhanh:

a)   

Các đường thẳng và có vecto chỉ phương là và

=>

b) Mặt phẳng có một cặp vectơ chỉ phương là và nên có

Ta có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn là:

⇔

Mặt phẳng có 

=>

c) Đường thẳng có vecto chỉ phương là

=>