Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

1. Công thức xác suất toàn phần

Khám phá 1 trang 77 toán 12 tập 2 ctst

Chị An trả lời hai câu hỏi. Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ nhất là 0,7. Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ hai là 0,9 nếu chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất và là 0,5 nếu chị An không trả lời đúng câu hỏi thứ nhất.

Gọi A là biến cố “Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất”

và B là biến cố “Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ hai”. 

Hãy tìm các giá trị thích hợp điền vào các ô ? ở sơ đồ hình cây sau:

Giải nhanh:

Xét các biến cố:

A là biến cố “Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất”

B là biến cố “Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ hai”. 

Xác suất chị An không trả lời đúng câu thứ nhất:

Xác suất chị An không trả lời đúng câu thứ 2:

+ Khi trả lời đúng câu thứ nhất:

+ Khi không trả lời đúng câu thứ nhất:

Xác suất chị An trả lời đúng câu thứ nhất và không trả lời đúng câu thứ 2:

Xác suất chị An không trả lời đúng cả 2 câu:

Thực hành 1 trang 78 toán 12 tập 2 ctst

Vào mỗi buổi sáng ở tuyến phố H, xác suất xảy ra tắc đường khi trời mưa và không mưa lần lượt là 0,7 và 0,2. Xác suất có mưa vào một buổi sáng là 0,1. Tính xác suất để sáng đó tuyến phố H bị tắc đường.

Giải nhanh:

Xét các biến cố:

A: có mưa vào buổi sáng

B: xảy ra tắc đường 

Ta có:

Xác suất có mưa vào buổi sáng: P(A) = 0,1

Xác suất không có mưa vào buổi sáng:

Xác suất tắc đường khi trời mưa:

Xác suất xảy ra tắc đường khi không mưa:

Xác suất để tuyến phố H bị tắc đường vào một buổi sáng P(B):

2. Công thức Bayes

Khám phá 2 trang 78 toán 12 tập 2 ctst

Khảo sát thị lực của 100 học sinh, ta thu được bảng số liệu sau:

Chọn ngẫu nhiên 1 bạn trong 100 học sinh trên.

a) Biết rằng bạn đó có tật khúc xạ, tính xác suất bạn đó là học sinh nam.

b) Biết rằng bạn đó là học sinh nam, tính xác suất bạn đó có tật khúc xạ.

Giải nhanh:

a) Xác suất bạn được chọn là học sinh nam, biết rằng bạn đó có tật khúc xạ

b) Xác suất bạn được chọn có tật khúc xạ, biết rằng bạn đó là học sinh nam

Thực hành 2 trang 78 toán 12 tập 2 ctst

Khi phát hiện một vật thể bay, xác suất một hệ thống radar phát cảnh báo là 0,9 nếu vật thể bay đó là mục tiêu thật và là 0,05 nếu đó là mục tiêu giả. Có 99% các vật thể bay là mục tiêu giả. Biết rằng hệ thống radar đang phát cảnh báo khi phát hiện một vật thể bay. Tính xác suất vật thể đó là mục tiêu thật.

Giải nhanh:

Xét các biến cố:

T: Vật thể bay là mục tiêu thật

G: Vật thể bay là mục tiêu giả

C: Radar phát cảnh báo

Ta có: 

- Xác suất radar phát cảnh báo nếu vật thể bay là mục tiêu thật:  P(C|T) = 0.9 

- Xác suất radar phát cảnh báo nếu vật thể bay là mục tiêu giả:  P(C|G) = 0.05 

- Xác suất một vật thể bay là mục tiêu thật:  P(T) = 0.01 

- Xác suất một vật thể bay là mục tiêu giả:  P(G) = 0.99 

Xác suất vật thể đó là mục tiêu thật khi hệ thống radar phát cảnh báo  P(T|C) .

Trong đó:

 P(C) là xác suất radar phát cảnh báo bất kể vật thể bay là mục tiêu thật hay mục tiêu giả:

Như vậy xác suất vật thể đó là mục tiêu thật khi hệ thống radar phát cảnh báo là khoảng 0.1538 hay 15.38%.

Vận dụng trang 80 toán 12 tập 2 ctst

Người ta điều tra thấy ở một địa phương nọ có 2% tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe. Trong các vụ tai nạn ở địa phương đó, người ta nhận thấy có 10% là do tài xế có sử dụng điện thoại khi lái xe gây ra. Hỏi việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên bao nhiêu lần?

Giải nhanh:

Xét các biến cố:

- A: biến cố tài xế bị tai nạn

- D: tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe

Ta có:

- Xác suất tài xế sử dụng điện thoại:  P(D) = 0.02 

- Xác suất tài xế không sử dụng điện thoại: 

- Xác suất tai nạn do tài xế sử dụng điện thoại:  P(D|A) = 0.10 

Sử dụng định lý Bayes:

Mà ta có 

Có P(D|A) = 0.10, từ định lý Bayes:

Mà P(A|D) là xác suất tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe. Vậy việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe tăng xác suất gây tai nạn lên 5 lần.

BÀI TẬP

Bài tập 1 trang 80 toán 12 tập 2 ctst

Hộp thứ nhất có 3 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 3 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp thứ hai.

a) Tính xác suất để hai viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ.

b) Biết rằng 2 viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ, tính xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là bi đỏ.

Giải nhanh:

Xét các biến cố:

  -  A : Viên bi lấy từ hộp thứ nhất là bi xanh.

  -  B : Viên bi lấy từ hộp thứ nhất là bi đỏ.

  -  C : Hai viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ.

  -  D : Hai viên bi lấy ra từ hộp thứ hai không phải cả hai là bi đỏ.

a) Ta có:

Khi viên bi xanh được chuyển từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai:

- Hộp thứ hai sẽ có 4 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ.

- Xác suất chọn 2 viên bi đỏ từ 11 viên (4 xanh và 7 đỏ) là:

Khi viên bi đỏ được chuyển từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai:

- Hộp thứ hai sẽ có 3 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ.

- Xác suất chọn 2 viên bi đỏ từ 11 viên (3 xanh và 8 đỏ) là:

Xác suất tổng thể P(C)  là:

Như vậy xác suất để hai viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ là   

b) Biết rằng 2 viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ, xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là bi đỏ là P(B|C) .

Sử dụng định lý Bayes:

Như vậy xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất là bi đỏ, biết rằng 2 viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ, là

Bài tập 2 trang 80 toán 12 tập 2 ctst

Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là 52%. Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia câu lạc bộ nghệ thuật lần lượt là 18% và 15%. Gặp ngẫu nhiên 1 học sinh của trường.

a) Tính xác suất học sinh đó có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật.

b) Biết rằng học sinh có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật. Tính xác suất học sinh đó là nam.

Giải nhanh:

Xét các biến cố:

F: Biến cố chọn được một học sinh nữ

M: Biến cố chọn được một học sinh nam

A: Biến cố học sinh chọn được tham gia câu lạc bộ nghệ thuật

Ta có:

-  P(F) : Xác suất học sinh là nữ  = 0.52

-  P(M) : Xác suất học sinh là nam  = 1 - P(F) = 0.48

-  P(A|F) : Xác suất học sinh nữ tham gia câu lạc bộ nghệ thuật = 0.18

-  P(A|M) : Xác suất học sinh nam tham gia câu lạc bộ nghệ thuật = 0.15

a) Xác suất một học sinh bất kỳ tham gia câu lạc bộ nghệ thuật:

Vậy xác suất một học sinh bất kỳ tham gia câu lạc bộ nghệ thuật là khoảng 0.166 (hoặc 16.6%).

 b) Xác suất học sinh chọn được là nam, biết rằng đã tham gia câu lạc bộ nghệ thuật:

Như vậy xác suất học sinh là nam, biết rằng đã tham gia câu lạc bộ nghệ thuật là khoảng 0.435 (hoặc 43.5%)

Bài tập 3 trang 80 toán 12 tập 2 ctst

Tỉ lệ người dân đã tiêm vắc xin phòng bệnh A ở một địa phương là 65%. Trong số những người đã tiêm phòng, tỉ lệ mắc bệnh A là 5% còn trong số những người chưa tiêm, tỉ lệ mắc bệnh A là 17%. Gặp ngẫu nhiên một người ở địa phương đó.

a) Tính xác suất người đó mắc bệnh A.

b) Biết rằng người đó mắc bệnh A. Tính xác suất người đó không tiêm vắc xin phòng bệnh A.

Giải nhanh:

Xét các biến cố:

-  V : Biến cố người đó đã tiêm vắc xin.

-  : Biến cố người đó chưa tiêm vắc xin.

-  A : Biến cố người đó mắc bệnh A.

Theo đề bài, ta có:

-  P(V) = 0.65  (xác suất đã tiêm vắc xin).

-  = 0.35  (xác suất chưa tiêm vắc xin).

-  P(A|V) = 0.05  (xác suất mắc bệnh nếu đã tiêm vắc xin).

-  = 0.17  (xác suất mắc bệnh nếu chưa tiêm vắc xin).

a) Xác suất một người mắc bệnh A là:

Vậy xác suất một người bất kỳ mắc bệnh A là 0.092 (hoặc 9.2%).

 b) Xác suất một người chưa tiêm vắc xin, biết đã mắc bệnh A:

Như vậy xác suất một người chưa tiêm vắc xin, biết đã mắc bệnh A là 0.647 (hoặc 64.7%).

Bài tập 4 trang 80 toán 12 tập 2 ctst

Ở một khu rừng nọ có 7 chú lùn, trong đó có 4 chú luôn nói thật, 3 chú còn lại nói thật với xác suất 0,5. Bạn Tuyết gặp ngẫu nhiên một chú lùn. Gọi A là biến cố “Chú lùn đó luôn nói thật” và B là biến cố “Chú lùn đó tự nhận mình luôn nói thật”.

a) Tính xác suất của các biến cố A và B.

b) Biết rằng chú lùn mà bạn Tuyết gặp tự nhận mình là người luôn nói thật. Tính xác suất để chú lùn đó luôn nói thật.

Giải nhanh:

Xét các biến cố:

- A: Biến cố "Chú lùn đó luôn nói thật".

- B: Biến cố "Chú lùn đó tự nhận mình luôn nói thật".

a) Tính xác suất của các biến cố A và B.

Xác suất gặp một chú lùn luôn nói thật:

Ta có:

Có 2 khả năng để một chú lùn tự nhận mình luôn nói thật:

1. Chú lùn đó thực sự luôn nói thật (xác suất  P(B|A) = 1 ).

2. Chú lùn đó không luôn nói thật nhưng nói thật với xác suất 0.5 (xác suất 

Xác suất gặp một chú lùn không luôn nói thật:

Dùng định lý xác suất toàn phần:

b) Xác suất chú lùn luôn nói thật biết rằng chú lùn đó tự nhận mình luôn nói thật:

Như vậy, xác suất để chú lùn đó luôn nói thật, biết rằng chú lùn đó tự nhận mình luôn nói thật, là hoặc xấp xỉ 0.727 (72.7%)