BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Phương trình đường thẳng trong không gian. Vecto chỉ phương của đường thẳng

HĐ1:Trong không gian , cho điểm , cố định và vectơ khác . Có bao nhiêu đường thẳng đi qua , và song song hoặc trùng với giá của ?

Đáp án chuẩn:

Chỉ có duy nhất một đường thẳng

TH1: Trong không gian , cho hình lăng trụ tam giác với , , , . Tìm toạ độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng , và .

Đáp án chuẩn:

; ;  

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Đáp án chuẩn:

a) ;

b) ; ;  

TH3: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và nhận

làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng có đi qua có điểm không?

Đáp án chuẩn:

Phương trình chính tắc của đường thẳng

HĐ3: Cho đường thẳng có phương trình tham số với đều khác 0. Lấy điểm bất kỳ thuộc . So sánh các biểu thức: ;;.

Đáp án chuẩn:

TH4: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm và nhận làm vectơ chỉ phương.

Đáp án chuẩn:

3. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm

HĐ4: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm và .

a) Tìm một vectơ chỉ phương của .

b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của .

Đáp án chuẩn:

a) .

b) Phương trình tham số của là:

Phương trình chính tắc của là:

TH5: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng , biết và .

Đáp án chuẩn:

Phương trình tham số là:

Phương trình chính tắc là: 

Vận dụng 1: Một mô hình cầu treo được thiết kế trong không gian như Hình 4. Viết phương trình tham số của làn đường d đi qua hai điểm và .

Đáp án chuẩn:

Phương trình tham số là:

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Điều kiện để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Khám phá 5: Cho ba đường thẳng:

                      và

a) Nêu nhận xét về ba vectơ chỉ phương của , và .

b) Xét điểm nằm trên . Điểm có nằm trên hoặc không?

c) Từ các kết quả trên, ta có thể kết luận gì về vị trí tương đối giữa và , và ?

Đáp án chuẩn:

a)

b) không thuộc ; thuộc

c) ;

TH6: Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các cặp đường thẳng sau:

a) và ;

b) và .

Đáp án chuẩn:

a)

b)

Vận dụng 2: Trên một máy khoan bàn đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ. Nêu nhận xét về vị trí giữa trục của mũi khoan và trục của giá đỡ có phương trình lần lượt là:

 và  

Đáp án chuẩn:

Trục của mũi khoan và trục của giá đỡ // với nhau.

Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau

HĐ6: Cho ba đường thẳng

                              và

a) Đường thẳng và đường thẳng có song song hay trùng với đường thẳng không?

b) Giải hệ phương trình (ẩn và )

Từ đó nhận xét về vị trí tương đối giữa và

c) Giải hệ phương trình (ẩn và )

Từ đó nhận xét về vị trí tương đối giữa và

Đáp án chuẩn:

a) Đường thẳng và đường thẳng không song song hay trùng với đường thẳng

b) Hệ phương trình đã cho có 1 cặp nghiệm duy nhất chứng tỏ 2 đường thẳng và cắt nhau tại 1 điểm 

c) 2 đường thẳng và chéo nhau

TH7: Xét vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng d và d’ trong mỗi trường hợp sau:

a) và ;

b) và .

Đáp án chuẩn:

a) và cắt nhau

b) và chéo nhau

Vận dụng 3: Trên phần mềm thiết kế cầu treo, cho đường thẳng trên trụ cầu và đường thẳng trên sàn cầu có phương trình lần lượt là:

 và

Xét vị trí tương đối giữa và .

Đáp án chuẩn:

Đường thẳng trên trụ cầu và đường thẳng trên sàn cầu chéo nhau

Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

HĐ7: Cho hai đường thẳng  và

a) Tìm vecto chỉ phương và lần lượt của và .

b) Tính tích vô hướng . Từ đó, có nhận xét gì về hai đường thẳng và ?

Đáp án chuẩn:

a) ,

b) và vuông góc với nhau

TH8: Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:

a) và ;

b)  và  .

Đáp án chuẩn:

a) và vuông góc với nhau

b) và không vuông góc với nhau

Vận dụng 4: Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian Cho biết trục của nòng súng và cọc đỡ bia có phương trình lần lượt là:

 và

Xét vị trí tương đối giữa và , chúng có vuông góc với nhau không?

Đáp án chuẩn:

và vuông góc với nhau

3. Góc. Góc giữa hai đường thẳng

HĐ8: Cho hai đường thẳng và có vectơ chỉ phương lần lượt là và .

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng và trong không gian.

b) Vectơ có phải là một vectơ chỉ phương của không? 

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức

d) Nêu cách tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng theo cosin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

Đáp án chuẩn:

a) Góc giữa 2 đường thẳng trong không gian, kí hiệu là góc giữa hai đường thẳng và cùng đi qua một điểm và lần lượt // hoặc trùng với và  

b) là một vectơ chỉ phương của

c) Vì và là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng và , và theo định nghĩa góc giữa 2 đường thẳng trong không gian nên:

=>

d) Cosin giữa hai đường thẳng bằng giá trị tuyệt đối của cosin của góc giữa hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng đó.

TH9: Tính góc giữa hai đường thẳng và trong mỗi trường hợp sau:

a)  và    .

b) và ;

c)  và

Đáp án chuẩn:

a)

b)

c)

Vận dụng 5: Trên một phần mềm đã thiết kế sân khấu 3D trong không gian . Tính góc giữa hai tia sáng có phương trình lần lượt là:

   và    

Đáp án chuẩn:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

HĐ9: Cho đường thẳng có vectơ chỉ phương là và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến . Biết cắt tại điểm và hình chiếu vuông góc của lên là đường thẳng . Qua vẽ đường thẳng vuông góc với (Hình 12).

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.

b) Có nhận xét gì về số đo hai góc ; ? 

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức:

Đáp án chuẩn:

a) Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta nói góc giữa đường thẳng với bằng

b)

c)

TH10: Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:

a) và ;

b) và .

c) và .

Đáp án chuẩn:

a)

b)

c)

Vận dụng 6: Trên một sân khấu đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ Oxyz. Tính góc giữa tia sáng có phương trình và mặt sàn sân khấu có phương trình .

Đáp án chuẩn:

Góc giữa tia sáng và mặt sàn sân khấu bằng

Góc giữa hai mặt phẳng

HĐ10: Cho hai mặt phẳng và có vectơ pháp tuyến lần lượt là , (Hình 14).

Gọi và là hai đường thẳng lần lượt vuông góc với và . Góc giữa hai mặt phẳng và là góc giữa hai đường thẳng và .

So sánh và .

Đáp án chuẩn:

TH 11: Tính góc giữa hai mặt phẳng và trong mỗi trường hợp sau: 

a) và ; 

b) và ; 

c) và .

Đáp án chuẩn:

a)

b)

c)

TH 12: Trong không gian , cho hình hộp chữ nhật . Cho biết , , , . Tính góc giữa:

a) hai đường thẳng và ;

b) hai mặt phẳng và ;

c) đường thẳng và mặt phẳng .

Đáp án chuẩn:

a)

b)

c)

Vận dụng 7: Để làm thí nghiệm về chuyển động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ . Tính góc giữa mặt phẳng nghiêng và mặt sàn .

Đáp án chuẩn:

GIẢI BÀI TẬP

Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . 

b) Đường thẳng đi qua hai điểm và .

Đáp án chuẩn:

a)

b)

Bài 2: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . 

b) Đường thẳng đi qua hai điểm và .

Đáp án chuẩn:

a)

b)

Bài 3: Cho đường thẳng có phương trình chính tắc

a) Tìm một vectơ chỉ phương của và một điểm trên . 

b) Viết phương trình tham số của .

Đáp án chuẩn:

a) và

b)

Bài 4: Trong trò chơi mô phỏng bắn súng 3D trong không gian , một xạ thủ đang ngắm với toạ độ khe ngắm và đầu ruồi lần lượt là , . Viết phương trình tham số của đường ngắm bắn của xạ thủ (xem như đường thẳng ).

Đáp án chuẩn:

Bài 5: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a)  và

b)  và  .

Đáp án chuẩn:

a)

b) và chéo nhau

Bài  6: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng .

Đáp án chuẩn:

Bài 7: Trên phần mềm mô phỏng 3D một máy khoan trong không gian , cho biết phương trình trục của mũi khoan và một đường rãnh trên vật cần khoan (Hình 18) lần lượt là:

 và

a) Chứng minh , vuông góc và cắt nhau.

b) Tìm giao điểm của và .

Đáp án chuẩn:

a) và vuông góc với nhau

b)

Bài 8:  Tính góc giữa hai đường thẳng  và .

Đáp án chuẩn:

Bài 9:  Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .

Đáp án chuẩn:

Bài 10: Tính góc giữa hai mặt phẳng và .

Đáp án chuẩn:

Bài 11: Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ . Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và .

a) Tính góc giữa và

b) Tính góc hợp bởi và với mặt đất có phương trình .

Đáp án chuẩn:

a)

b) ;

Bài 12: Trong không gian , cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại . Cho biết , , . Tính góc giữa:

a) hai đường thẳng và ;

b) hai mặt phẳng và ;

c) đường thẳng và mặt phẳng .

Đáp án chuẩn:

a)

b)

c)