BÀI 1. NGUYÊN HÀM

1. Khái niệm nguyên hàm

HĐ1: Cho hàm số xác định trên . Tìm một hàm số sao cho .

Đáp án chuẩn: 

HĐ2: Cho hàm số xác định trên .

a) Chứng minh rằng là một nguyên hàm của trên .

b) Với là hằng số tuỳ ý, hàm số có là nguyên hàm của trên không?

c) Giả sử là một nguyên hàm của trên . Tìm đạo hàm của hàm số . Từ đó, có nhận xét gì về hàm số ?

Đáp án chuẩn: 

a) với mọi thuộc => là một nguyên hàm 

b) là một nguyên hàm của hàm số trên

c) Hàm số là một hằng số

TH1: Chứng minh rằng là một nguyên hàm của hàm số trên .

Đáp án chuẩn: 

với mọi thuộc

=> là một nguyên hàm của hàm số trên

2. Nguyên hàm của một số hàm sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

HĐ3:

 a) Giải thích tại sao và .

b) Tìm đạo hàm của hàm số . Từ đó, tìm .

Đáp án chuẩn: 

a) Vì nên là một nguyên hàm của => .

Vì với mọi thuộc nên là một nguyên hàm của trên

=>

b) ;

TH2: Tìm

a)

b)

c)

Đáp án chuẩn: 

a)

b)

c)

Nguyên hàm của hàm số

HĐ4: Cho hàm số với .

a) Tìm đạo hàm của .

b) Từ đó, tìm .

Đáp án chuẩn: 

a) với

b)

Nguyên hàm của một số hàm số lượng giác

HĐ5:

 a) Tìm đạo hàm của các hàm số , , , .

b) Từ đó, tìm , , .

Đáp án chuẩn: 

a)  , , , .

b) 

, 

, 

, 

.

TH3 : Tìm nguyên hàm của hàm số thoả mãn

Đáp án chuẩn: 

;

Nguyên hàm của hàm số mũ

HĐ6:

 a) Tìm đạo hàm của các hàm số , với .

b) Từ đó, tìm và ().

Đáp án chuẩn: 

a) , ()

b)

().

TH4: Tìm

a)

b)

Đáp án chuẩn: 

a)

b)

3. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

Nguyên hàm của tích một số với một hàm số

HĐ7 : Ta có và .

a) Tìm và .

b) Tìm .

c) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao .

Đáp án chuẩn: 

a)

b)

c) Ta có và đều có dạng với là một hằng số tuỳ ý => .

TH5: Tìm

a) ;

b) .

Đáp án chuẩn: 

a)

b)

Nguyên hàm của tổng, hiệu hai hàm số

HĐ8: Ta có , và

a) Tìm , và .

b) Tìm .

c) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao .

Đáp án chuẩn: 

a) ;

b)

c) = với là một hằng số tuỳ ý

TH6: Tìm

a) ;

b) .

Đáp án chuẩn: 

a)

b)

TH7: Một ô tô đang chạy với tốc độ 19 m/s thì hãm phanh và chuyển động chậm dần với tốc độ (m/s). Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đi được sau 1 giây, 2 giây, 3 giây là bao nhiêu?

Đáp án chuẩn: 

(m); (m); (m)

GIẢI BÀI TẬP

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số , suy ra nguyên hàm của hàm số .

Đáp án chuẩn: 

Bài 2: Tìm

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

Đáp án chuẩn: 

a)

b)

c)

d)

Bài 3: Tìm nguyên hàm của hàm số thoả mãn .

Đáp án chuẩn: 

Bài 4: Tìm

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

Đáp án chuẩn: 

a)

b)

c)

d)

Bài 5: Tìm

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

Đáp án chuẩn: 

a)

b)

c)

d)

Bài 6: Kí hiệu là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ (m/năm). 

a) Xác định chiều cao của cây sau năm .

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?

Đáp án chuẩn: 

a)  

b) (năm)

Bài 7: Một chiếc xe đang chuyển động với tốc độ = 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc không đổi =2 . Tính quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

Đáp án chuẩn: 

(m)