BÀI 2. TÍCH PHÂN

1. Diện tích hình thang cong

HĐ 1: Cho hàm số .Với mỗi , kí hiệu là diện tích của hình thang giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng vuông góc với tại các điểm có hoành độ 1 và .

a) Tính .

b) Tính với mỗi .

c) Tính . Từ đó suy ra là một nguyên hàm của trên .

d) Cho là một nguyên hàm của hàm số . Chứng tỏ rằng . Từ đó nhận xét về cách tính khi biết một nguyên hàm của .

Đáp án chuẩn: 

a)

b) với mỗi .

c)

Vì với mỗi nên là một nguyên hàm của trên .

d)

=>

Để tính khi biết một nguyên hàm của , ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm nguyên hàm của

Bước 2: Tính các giá trị và (do )

Bước 3: Giá trị cần tính là:

TH1: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung và đường thẳng (Hình 4)

Đáp án chuẩn: 

2. Khái niệm tích phân

HĐ 2: Cho hàm số . Lấy hai nguyên hàm tuỳ ý và của , rồi tính và . Nhận xét về kết quả nhận được.

Đáp án chuẩn: 

TH2: Tính các tích phân sau

a) ;

b) ;

c) .

Đáp án chuẩn: 

a)

b)

c)

Vận dụng 1: Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ , trong đó tính theo m/s, thời gian tính theo giây vớilà thời điểm xe xuất phát.

a) Tính quãng đường xe đi được sau 5 giây, sau 10 giây.

b) Tính tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian từ đến .

Đáp án chuẩn: 

a) (m); (m)

b) (m/s)

3. Tính chất của tích phân

Tính chất 1

HĐ 3: 

 a) Tính một nguyên hàm của hàm số . Từ đó, tính: .

b) Tính .

c) Có nhận xét gì về giá trị của và ?

Đáp án chuẩn: 

a) ;

b)

c)

TH3: Tính các tích phân sau

a)

b)

c)

Đáp án chuẩn: 

a)

b)

c)

Tính chất 2

HĐ 4:

a) Tính một nguyên hàm của hàm số . Từ đó, tính .

b) Tính .

c) Có nhận xét gì về hai kết quả trên?

Đáp án chuẩn: 

a) ;

b)

c)

TH4: Tính các tích phân sau

a) ;

b) ;

c) .

Đáp án chuẩn: 

a)

b)

c) 12

Vận dụng 2: Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón, gọi là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu được từ việc bán x tấn sản phẩm trong một tuần. Khi đó, đạo hàm , gọi là lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức:

với .

Tính lợi nhuận nhà máy thu được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần. Biết rằng nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.

Đáp án chuẩn: 

Tính chất 3

HĐ 5: Cho hàm số . Tính và so sánh kết quả:

và .

Đáp án chuẩn: 

TH5 : Tính

a) ;

b) ;

c) .

Đáp án chuẩn: 

a) -10

b)

c) 2

Vận dụng 3: Biết rằng tốc độ (km/phút) của một ca nô cao tốc thay đổi theo thời gian t (phút) như sau:

Tính quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút.

Đáp án chuẩn: 

(km)

GIẢI BÀI TẬP

Bài 1: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi:

a) Đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , (Hình 7);

b) Đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , (Hình 8).

Đáp án chuẩn: 

a)

b)  

Bài 2: Tính các tích phân sau

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

Đáp án chuẩn: 

a)

b)

c)

d)

Bài 3:Tính các tích phân sau

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

Đáp án chuẩn: 

a)

b)

c)

d)

Bài 4: Tính

 a)

b)

c)

Đáp án chuẩn: 

a) 5

b) 16

c) 2

Bài 5: Mặt cắt ngang của một ống dẫn khí nóng là hình vành khuyên như Hình 9. Khí bên trong ống được duy trì ở 150°C. Biết rằng nhiệt độ T (°C) tại điểm A trên thành ống là hàm số của khoảng cách (cm) từ A đến tâm của mặt cắt và

.

(Nguồn: Y.A.Çengel, A.I.Gahjar, Heat and Mass Transfer, Mc Graw Hill, 2015)

Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống.

Đáp án chuẩn: 

(°C)

Bài 6: Giả sử tốc độ (m/s) của một thang máy di chuyển từ tầng 1 lên tầng cao nhất theo thời gian (giây) được cho bởi công thức:

Tính quãng đường chuyển động và tốc độ trung bình của thang máy.

Đáp án chuẩn: 

S = (m); v_tb (m/s)