BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1. Phương trình mặt cầu trong không gian

HĐ1: Trong không gian , cho mặt cầu có tâm và bán kính .

Xét một điểm thay đổi.

a) Tính khoảng cách IM theo và .

b) Nêu điều kiện cần và đủ của để điểm nằm trên mặt cầu .

Đáp án chuẩn:

a)

b)

TH1: Viết phương trình mặt cầu :

a) Có tâm , bán kính ;

b) Có đường kính với và ; 

c) Có tâm và đi qua điểm .

Đáp án chuẩn:

a) :

b) :

c) :

Vận dụng: Trong không gian (đơn vị của các trục toạ độ là mét), các nhà nghiên cứu khí tượng dùng một phần mềm mô phỏng bề mặt của một quả bóng thám không có dạng hình cầu bằng phương trình . Tìm toạ độ tâm, bán kính của quả bóng và tính khoảng cách từ tâm của quả bóng đến mặt đất có phương trình .

Đáp án chuẩn:

Tâm

HĐ2:

 a) Trong không gian , cho điểm thay đổi có toạ độ luôn thoả mãn phương trình . (*)

i) Biến đổi (*) về dạng:.

ii) Chứng tỏ luôn thuộc một mặt cầu . Tìm tâm và bán kính của .

b) Bằng cách biến đổi phương trình (**) về dạng, hãy cho biết phương trình (**) có thể là phương trình mặt cầu hay không.

Đáp án chuẩn:

a) 

i)

ii) và

b) Phương trình (**) không phải là phương trình mặt cầu 

TH1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) ;

b) .

Đáp án chuẩn:

a) ,

b) Phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu 

2.Vận dụng của phương trình mặt cầu

Vận dụng 2: Bề mặt của một bóng thám không dạng hình cầu có phương trình:

Tìm toạ độ tâm và bán kính mặt cầu.

Đáp án chuẩn:

và 

Vận dụng 3: Đầu in phun của một máy in 3D đang in bề mặt của một mặt cầu có phương trình:

Tính khoảng cách từ đầu in phun đến tâm mặt cầu.

Đáp án chuẩn:

GIẢI BÀI TẬP

Bài 1: Viết phương trình mặt cầu :

a) Có tâm , bán kính ;

b) Có tâm và đi qua điểm ;

c) Có đường kính với và .

Đáp án chuẩn:

a) :

b) :

c) :

Bài 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) ;

b) ;

c) .

Đáp án chuẩn:

a) Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm ,

b) Phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu 

c) Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm , bán kính

Bài 3: Cho hai điểm và . Chứng minh rằng nếu điểm thoả mãn thì thuộc một mặt cầu . Tìm tâm và bán kính của .

Đáp án chuẩn:

luôn thuộc một mặt cầu có tâm và 

Bài 4: Phần mềm mô phỏng thiết bị thám hiểm đại dương có dạng hình cầu trong không gian . Cho biết toạ độ tâm mặt cầu là và bán kính . Viết phương trình mặt cầu.

Đáp án chuẩn:

Bài 5: Người ta muốn thiết kế một bồn chứa khí hóa lỏng hình cầu bằng phần mềm 3D. Cho biết phương trình bề mặt của bồn chứa là . Phương trình mặt phẳng chứa nắp là .

a) Tìm tâm và bán kính của bồn chứa.

b) Tính khoảng cách từ tâm bồn chứa đến mặt phẳng chứa nắp.

Đáp án chuẩn:

a) và

b)