BÀI 3: BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Khởi động 1: Trong không gian , có thể thực hiện các phép toán vectơ dựa trên tọa độ của chúng tương tự như đã làm trong mặt phẳng không?

;

Đáp án chuẩn:

Ta có thể thực hiện các phép toán vectơ dựa trên tọa độ của chúng tương tự như đã làm trên mặt phẳng tọa độ.

Khám phá 1: Trong không gian , cho hai vectơ , với số thực .

a) Biểu diễn từng vectơ theo ba vectơ .

b) Biểu diễn các vectơ theo ba vectơ , từ đó suy ra tọa độ của các vectơ

Đáp án chuẩn:

a) ;

b)

Hoạt động thực hành 1: Cho ba vectơ

a) Tìm tọa độ của vectơ

b) Tìm tọa độ của vectơ

c) Chứng minh cùng phương với vectơ

Đáp án chuẩn:

a) 

b)

c) cùng phương với

Hoạt động vận dụng 1: Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc  (Hình 1). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu của vùng biển là .

a) Tìm tọa độ của vectơ tổng hai vận tốc

b) Giả sử thiết bị thăm dò lặn với vận tốc , hãy nêu nhận xét về vectơ vận tốc của nó so với vectơ vận tốc của dòng hải lưu. 

Đáp án chuẩn:

a)  

b) Vì . Vậy vectơ vận tốc của thiết bị thăm dò cùng hướng với vectơ vận tốc của dòng hải lưu.

2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Hoạt động khám phá 2: Cho hai vectơ  , .

a) Biểu diễn từng vectơ theo ba vectơ .

b) Tính các tích vô hướng .

c) Tính tích vô hướng theo tọa độ của hai vectơ

Đáp án chuẩn:

a) ; 

b) ;

c) =

Hoạt động thực hành 2: Cho ba vectơ

a) Tính .

b) Tính .

c) Cho . Vectơ có vuông góc với không?

Đáp án chuẩn:

a) ;  

b) = ; = ;

Hoạt động vận dụng 2: Một thiết bị dò thăm đáy biển (HÌnh 2) được đẩy bởi lực (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời (đơn vị: m). Tính công lực sinh bởi lực .

Đáp án chuẩn:

(N)

3. VẬN DỤNG

Hoạt động khám phá 3: Cho hai điểm . Từ biểu thức , tìm tọa độ của vectơ theo tọa độ hai điểm và .

Đáp án chuẩn:

)

Hoạt động thực hành 3: Cho ba điểm .

a) Tìm tọa độ của các vectơ

b) Tính các độ dài .

Đáp án chuẩn:

a) ; ; .

b) ; ;

Hoạt động khám phá 4: Cho tam giác có . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng và là trọng tâm của tam giác .

Sử dụng các hệ thức vectơ , tìm tọa độ của các điểm và .

Đáp án chuẩn:

Hoạt động thực hành 4: Cho tam giác có . Tìm tọa độ:

a) Các điểm lần lượt là trung điểm của các cạnh ;

b) Trọng tâm của tam giác .

Đáp án chuẩn:

a) ; ;

b)

Hoạt động vận dụng 3: Cho hình chóp có , và đáy là tam giác đều cạnh a, là trung điểm của . Bằng cách thiết lập hệ tọa độ như Hình 3, hãy tìm tọa độ:

a) Các điểm .

b) Trung điểm của và trung điểm của .

c) Trọng tâm của tam giác .

Đáp án chuẩn: 

a) ;

b) ;

c)

Hoạt động thực hành 5: Cho tam giác có .

a) Tìm tọa độ điểm là chân đường cao kẻ từ của tam giác .

b) Tìm độ dài cạnh và .

c) Tính góc .

 Đáp án chuẩn:

a)

b) 

c)

Hoạt động vận dụng 4: Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian , một đội gồm ba drone giao hàng đang có tọa độ là , , . Tính:

a) Các khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng.

b) Góc .

Đáp án chuẩn:

a) ;  ;

b)

4. BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA: 

Bài 1: Tính:

a)

b)

Đáp án chuẩn:

a)  

b)  

Bài 2: Cho hai vectơ và . Tính tọa độ của vectơ

Đáp án chuẩn:

Bài 3: Cho ba điểm và .

a) Chứng minh là ba đỉnh của một tam giác. Tính chu vi tam giác .

b) Tìm tọa độ trung điểm của các cạnh của tam giác .

c) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác .

Đáp án chuẩn:

a) Ta có . Vì không có cùng phương nên không thẳng hàng. Vì vậy, là ba đỉnh của một tam giác.

=

b) ; ;

c)

Bài 4: Cho điểm . Hãy tìm tọa độ của các điểm:

a) lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng , , .

b) Gọi lần lượt là các điểm thỏa mãn:

• là trung điểm của ;

• vuông góc với mặt phẳng tại điểm sao cho là trung điểm của .

• vuông góc và cắt trục tại điểm sao cho là trung điểm của .

Đáp án chuẩn:

a) , , .

b) .

Bài 5: Cho ba điểm , và .

a) Tìm điểm trên trục cách đều hai điểm .

b) Tìm điểm trên mặt phẳng cách đều ba điểm .

Đáp án chuẩn:

a)

b)

Bài 6: Cho các điểm , , , . Chứng minh rằng là hình thang.

Đáp án chuẩn:

Ta có: . 

Vì nên và cùng phương mà và không cùng phương nên . 

=> Tứ giác là hình thang.

Bài 7: Cho hình hộp có , , , . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Đáp án chuẩn:

; ; ;