BÀI 3. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

1. Tính diện tích hình phẳng

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị một hàm số, trục hoành và hai đường thẳng ,

HĐ1: Gọi là đồ thị của hàm số . Kí hiệu là diện tích hình phẳng giới hạn bởi , trục hoành và trục tung; , là diện tích hình phẳng giới hạn bởi , trục hoành và đường thẳng (Hình 1).

a) Tính , và so sánh với .

b) Tính , và so sánh với .

c) So sánh với .

Đáp án chuẩn:

a)

b)

c)  

TH1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , .

Đáp án chuẩn:

TH2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , .

Đáp án chuẩn:

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số và hai đường thẳng ,

HĐ2: Cho hai hàm số và lần lượt có đồ thị và như Hình 4.

a) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi , trục hoành và hai đường thẳng , .

b) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi , và hai đường thẳng , .

Đáp án chuẩn:

a)

b)

TH3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số , và hai đường thẳng , .

Đáp án chuẩn:

TH4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số , và hai đường thẳng , .

Đáp án chuẩn:

Vận dụng 1: Mặt cắt của một cửa hầm có dạng là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như Hình 7. Tính diện tích của cửa hầm. 

Đáp án chuẩn:

2. Tính thể tích hình khối

HĐ3: Trong không gian, cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , , . Đặt trục số như Hình 8. Một mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ , cắt hình chóp theo mặt cắt là hình vuông . Kí hiệu là diện tích của hình vuông .

a) Tính theo , và .

b) Tính và so sánh với thể tích của khối chóp .

Đáp án chuẩn:

a)

b)

TH5: Một bình chứa nước có hình dạng như Hình 11. Biết rằng khi nước trong bình có chiều cao (dm) thì mặt nước là hình vuông có cạnh (dm). Tính dung tích của bình.

Đáp án chuẩn:

Thể tích khối tròn xoay

HĐ4: Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và đường thẳng (Hình 12a). Quay hình xung quanh trục thì được một khối nón, kí hiệu là (Hình 12b).

a) Cắt khối bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ thì mặt cắt là hình gì? Tính diện tích của mặt cắt đó.

b) Sử dụng công thức tính thể tích hình khối, tính thể tích của khối nón .

Đáp án chuẩn:

a)

b)

TH6: Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , (Hình 15). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục .

Đáp án chuẩn:

Vận dụng 2: Sử dụng tích phân, tính thể tích khối nón có bán kính đáy và chiều cao (Hình 16).

Đáp án chuẩn:

GIẢI BÀI TẬP

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a) Đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , .

b) Đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , .

Đáp án chuẩn:

a)

b) 

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , .

Đáp án chuẩn:

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số , và hai đường thẳng , .

Đáp án chuẩn:

Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số , và hai đường thẳng , .

Đáp án chuẩn:

Bài 5: Khi cắt một vật thể hình chiếc nêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ , mặt cắt là tam giác vuông có một góc 45° và độ dài một cạnh góc vuông là (dm) (Hình 17). Tính thể tích của vật thể.

Đáp án chuẩn:

Bài 6: Cho là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục tung và trục hoành (Hình 18). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục .

Đáp án chuẩn:

Bài 7: Trong mặt phẳng toạ độ , cho hình thang có , và (Hình 19). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang quanh trục .

Đáp án chuẩn:

Bài 8: Sử dụng tích phân, tính thể tích của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng và chiều cao bằng (Hình 20).

Đáp án chuẩn: