BÀI 1: VECTOR VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRONG KHÔNG GIAN

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN: 

Hoạt động 1: Nhắc lại định nghĩa vectơ trong mặt phẳng. Có thể định nghĩa vectơ trong không gian như đã định nghĩa vectơ trong mặt phẳng không?

Giải rút gọn: 

Định nghĩa vectơ: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Có thể định nghĩa vectơ trong không gian như định nghĩa vectơ trong mặt phẳng bằng cách sử dụng đoạn thẳng có hướng trong không gian.

Thực hành 1: Trong phần khởi động, tìm vectơ biểu diễn độ dịch chuyển tín hiệu vô tuyến từ vị trí của máy bay đến vị trí của trạm kiểm soát.

Giải rút gọn: 

Vectơ

Thực hành 2: Cho hình chóp tứ giác đều . 

a) Chỉ ra các vectơ có điểm đầu là và điểm cuối là các đỉnh của đa giác đáy.

b) Tìm các vectơ có độ dài bằng độ dài của vectơ .

c) Tìm các vectơ đối của vectơ

Giải rút gọn: 

a) Các vectơ có điểm đầu là và điểm cuối là các đỉnh của đa giác đáy là:

b) Các vectơ có độ dài bằng độ dài của vectơ là: :

c) Các vectơ đối của vectơ là:

Vận dụng 1: Trong Hình 4, cho biết ba vectơ biểu diễn lực căng của các sợi dây cáp tác dụng lên vật nặng. Giá của ba vectơ này có cùng nằm trên một mặt phẳng không ?

Giải rút gọn: 

Giá của ba vectơ là ba cạnh bên của một hình chóp tam giác nên không cùng nằm trên một mặt phẳng. 

2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ:

Hoạt động 2: Cho hình hộp  

a) Trong mặt phẳng , tìm các vectơ tổng .

Trong mặt phẳng , tìm các vectơ tổng .

b) Tìm mối liên hệ giữa các cặp vectơ ,

c) Giải thích tại sao

Giải rút gọn: 

a)

b) ;  .

c) Vì:

Hoạt động 3: Cho hình hộp  

a) Tìm các vectơ tổng .

b) Dùng kết quả của câu a và tính chất kết hợp của phép cộng vectơ để chứng minh .

Giải rút gọn: 

a) .

b) .

Thực hành 3: Cho hình hộp . Tìm các vectơ: 

a)                            b)

Giải rút gọn: 

a)                           b)

Hoạt động 4: Cho hình hộp  

a) Trong mặt phẳng , tìm các vectơ hiệu .

Trong mặt phẳng , tìm các vectơ hiệu .

b) Tìm mối liên hệ giữa các cặp vectơ

c) Giải thích tại sao

Giải rút gọn: 

a) .

b)

c) Vì:

Thực hành 4: Cho tứ diện có và lần lượt là trung điểm của và . Tìm các vectơ: 

a)                           b)

Giải rút gọn: 

a) Ta có:

Do lần lượt là trung điểm của và nên ta có: 

b) Ta có:

Thực hành 5: Cho hình lập phương có cạnh bằng đơn vị. Tìm độ dài các vectơ sau đây: 

a)                   b)

Giải rút gọn: 

a) .

b) .

Vận dụng 2: Ba lực cùng tác động vào một vật có phương đôi một vuông góc và có độ lớn lần lượt là 2 N; 3 N; 4 N (Hình 17). Tính độ lớn hợp lực của ba lực đã cho.

Giải rút gọn: 

Độ lớn của hợp lực là: .

3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ: 

Hoạt động 5: Cho hình hộp có cắt nhau tại . (Hình 18)

a) Tìm vectơ

B) Cho biết mối quan hệ giữa các vectơ tìm được ở câu a) và vectơ

Giải rút gọn: 

a) .

b)

Thực hành 6: Cho hình lăng trụ có là trung điểm của (Hình 20). Đặt Chứng minh

Giải rút gọn: 

                               =

Vận dụng 3: Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích sao cho là hình chóp tứ giác đều có (Hình 22).

a) Sử dụng công thức trong đó là gia tốc rơi tự do có độ lớn , tìm độ lớn của trọng lực tác động lên chiếc đèn chùm. 

b) Tìm độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích.

Giải rút gọn: 

a) Độ lớn của trọng lực tác động lên chiếc đèn chùm là: 

.

b) Gọi độ lớn của lực căng trên mỗi sợi xích là (N).

Ta có: (N).

Vậy độ lớn của lực căng trên mỗi sợi xích là khoảng .

4. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ: 

Hoạt động 6: a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai vectơ và trong mặt phẳng.

b) Làm thế nào để định nghĩa góc giữa hai vectơ và trong không gian?

Giải rút gọn: 

a) Cho hai vectơ và đều khác . Từ một điểm bất kì ta vẽ , . Góc với số đo từ đến được gọi là góc giữa hai vectơ và . Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ .

b) Để định nghĩa góc giữa hai vectơ và trong không gian, ta sử dụng định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

Thực hành 7: Cho hình lập phương . Xác định góc .

Giải rút gọn: 

( là tâm của hình vuông );

Hoạt động 7: Trong không gian, cho và thỏa mãn Lấy một điểm bất kì, gọi và là hai điểm sao cho (Hình 25). Giả sử

a) Tính các góc .

b) Trong mặt phẳng (ABC), tính tích vô hướng  

Giải rút gọn: 

a)

b)

Thực hành 8: Cho lập phương có cạnh bằng .

a) Tính các tích vô hướng

b) Tính góc (kết quả làm tròn đến phút)

Giải rút gọn: 

a)

Ta có:

b) Ta có:

Vậy

Vận dụng 4: Một em nhỏ cân nặng trượt trên cầu trượt dài . Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương trình nằm ngang là (Hình 27).

a) Tính độ lớn của trọng lực tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn là m/s²

b) Cho biết công (J) sinh bởi một lực có độ dịch chuyển được tính bởi công thức . Hãy tính công sinh bởi trọng lực khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt.

Giải rút gọn: 

a) Độ lớn của trọng lực tác dụng lên em nhỏ là:  

b) Công sinh bởi trọng lực khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là: 

5. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA: 

Giải rút gọn bài 1 trang 50 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho hình hộp . Chứng minh rằng:

a)

b)

c)

Giải rút gọn: 

a) Ta có: mà

b)

c)

Giải rút gọn bài 2 trang 51 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho hình bình hành . Gọi là một điểm không thuộc mặt phẳng chứa hình bình hành. Chứng minh rằng

Giải rút gọn: 

Gọi là trung điểm của và . 

Ta có:

Từ (1) và (2)

Giải rút gọn bài 3 trang 51 sách toán 12 tập 1 ctst: Ba lực có điểm đặt tại một đỉnh của hình lập phương, cùng phương với ba cạnh và cùng có cường độ là N. Tính cường độ của hợp lực.

Giải rút gọn: 

Giả sử hình lập phương có cạnh bằng 5 và ba lực đó cùng đặt tại điểm . Khi đó:

Vậy cường độ của hợp lực là: 

Giải rút gọn bài 4 trang 51 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho hình chóp . Gọi I là trọng tâm của tam giác và trọng tâm của tam giác . Chứng minh 2

Giải rút gọn: 

Vì và lần lượt là trọng tâm của tam giác

Giải rút gọn bài 5 trang 51 sách toán 12 tập 1 ctst: Cho hình lăng trụ tam giác có Chứng minh rằng : và

Giải rút gọn: 

Ta có

Giải rút gọn bài 6 trang 51 sách toán 12 tập 1 ctst: Nếu một vật có khối lượng (kg) thì lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên vật được xác định theo công thức , trong đó là gia tốc rơi tự do có độ lớn là m/s². Tính độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo có khối lượng 102 gam (Hình 27).

Giải rút gọn: 

Độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo là: 

Giải rút gọn bài 7 trang 51 sách toán 12 tập 1 ctst: Trong điện trường đều, lực tĩnh điện (đơn vị: N) tác dụng lên điện tích điểm có điện tích (đơn vị: C) được tính theo công thức trong đó là cường độ điện trường (đơn vị: N/C). Tính độ lớn của lực tĩnh điện tác dụng lên điện tích điểm khi C và độ lớn điện trường N/C (Hình 29). 

Giải rút gọn: 

Độ lớn của lực tĩnh điện tác dụng lên điện tích điểm là: 

(N).

Giải rút gọn bài 8 trang 51 sách toán 12 tập 1 ctst: Một tĩnh điện lực tác động lên điện tích điểm trong điện trường đều làm cho dịch chuyển theo đường gấp khúc (Hình 30). Biết C, vectơ điện trường có độ lớn N/C và mm. Tính công A sinh bởi lực tĩnh điện .

Giải rút gọn: 

Công sinh bởi lực tĩnh điện là:

(J)