Bài tập 4.41. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi K, L, M, N tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Trong các vectơ có đầu mút lây từ các điểm A, B, C, D, K, L, M, O, có bao nhiêu vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{AK}$?

A.2.     B. 6.

C.4.     D. 8.

Bài tập 4.43. Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AG}$ bằng

A. $\sqrt{3}$.     B. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$     D. $2\sqrt{3}$. 

Bài tập 4.45. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4 và $\widehat{ABC} = 60^{o}$. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BA}$ bằng

A.2.     B. $\sqrt{19}$.

C.4.     D. $\frac{\sqrt{19}}{2}$

Bài tập 4.47. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm cạnh BC. Khẳng

định nào sau đây là một khẳng định đúng?

A. $\overrightarrow{GA} = 2\overrightarrow{GM}$.     B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG}$.

C. $\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{MG}$.     D. $3\overrightarrow{GA} = 2\overrightarrow{AM}$.

Bài tập 4.49. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(-3; 3), B(5; -2) và G(2; 2). Toạ độ của điểm C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC là

A. (5; 4).     B. (4; 5).

C. (4; 3).     D. (3; 5).

Bài tập 4.51. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ cùng khác $\overrightarrow{0}$. Khi đó $\overrightarrow{a} .  \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| . |\overrightarrow{b}|$ tương đương với

A. $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.     B. $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.

C. $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.     D. $\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$

Bài tập 4.53. Cho tam giác ABC có AB = 1, BC = 2 và $\widehat{ABC} = 60^{o}$. Tích vô hướng $\overrightarrow{BC} . \overrightarrow{CA}$ bằng

A. $\sqrt{3}$.     B. $-\sqrt{3}$.

C. 3.     D. -3.

Bài tập 4.55. Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 1, AC = 2. Lấy M, N, P tương ứng thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho 2BM = MC, CN = 2NA, AP = 2PB. Giá trị của tích vô hướng $\overrightarrow{AM} . \overrightarrow{NP}$ bằng

A. $\frac{2}{3}$.     B. $\frac{-1}{2}$

C. 0.     D. 1.

Bài tập 4.57. Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MC}$ bằng

A. $\frac{a^{2}}{2}$.     B. $-\frac{a^{2}}{2}$.

C. $a^{2}$.     D. $-a^{2}$.

Bài tập 4.59. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BD với AM, CN. Xét các vectơ khác $\overrightarrow{0}$, có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, M, N, I, J, O.

a) Hãy chỉ ra những vectơ băng vectơ $\overrightarrow{AB}$; những vectơ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$.

b) Chứng minh rằng BI = IJ = JD.

Bài tập 4.61. Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và $\widehat{CAB} = 60^{o}$.

a) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{BC}$

b) Lấy các điểm M, N thoả mãn $2\overrightarrow{AM} +3\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{NB} + x\overrightarrow{NC} = \overrightarrow{0}$ $(x \neq - 1)$. Xác định x sao cho AN vuông góc với BM.

Bài tập 4.63. Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Lấy điểm A', B' sao cho $\overrightarrow{AA'} = 2\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BB'} = 2\overrightarrow{CA}$. Gọi G' là trọng tâm của tam giác A'B'C. Chứng minh rằng GG' song song với AB.

Bài tập 4.65. Cho hình thang vuông ABCD có $\widehat{DAB} = \widehat{ABC} = 90^{o}$, BC = 1, AB = 2 và AD = 3. Gọi M là trung điểm của AB.

a) Hãy biểu thị các vectơ $\overrightarrow{CM}, \overrightarrow{CD}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$.

b) Gọi N là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác MCD và I là điểm thuộc cạnh CD sao cho 9IC = 5ID. Chứng minh rằng A, G, I thẳng hàng.

c) Tính độ dài các đoạn thẳng AI và BI.

Bài tập 4.67. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba vectơ $\overrightarrow{a}$ = (1; 2), $\overrightarrow{b}$ = (3; -4), $\overrightarrow{c}$ = (-5; 3).

a) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{a} . \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{b} . \overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{c} . \overrightarrow{a}$

b) Tìm góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$

Bài tập 4.69. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; -1), B(5; 3) và C(-2; 9).

a) Tìm điểm D thuộc trục hoành sao cho B, C, D ng hàng.

b) Tìm điểm E thuộc trục hoành sao cho EA + EB nhỏ nhất.

c) Tìm điểm F thuộc trục tung sao cho vecTơ $\overrightarrow{FA} + \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{FC}$ có độ dài ngắn nhất.