Giải bài tập 4.64 trang 70 SBT toán 10 tập 1 kết nối
Bài tập 4.64. Cho tứ giác lồi ABCD, không có hai cạnh nào song song. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm AB, CD. Gọi K, L, M, N lần lượt là trung điểm của AF, CE, BF, DE.
a) Chứng minh rằng tứ giác KLMN là một hình bình hành.
b) Gọi I là giao điểm của KM, LN. Chứng minh rằng E, I, F thằng hàng.
Trả lời:
a) Có $\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{FC} = (\overrightarrow{AK} + \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{LE}) + ( \overrightarrow{FK} + \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{LC})$
$\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{FC} = 2\overrightarrow{KL} + (\overrightarrow{AK} + \overrightarrow{FK}) + (\overrightarrow{LE} + \overrightarrow{LC})$
$\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{FC} = 2\overrightarrow{KL}$ (1)
Có $\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{DF} = (\overrightarrow{EN} + \overrightarrow{NM} + \overrightarrow{MB}) + ( \overrightarrow{DN} + \overrightarrow{NM} + \overrightarrow{MF})$
$\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{DF} = 2\overrightarrow{NM} + (\overrightarrow{EN} + \overrightarrow{FN}) + (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MF})$
$\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{DF} = 2\overrightarrow{MN}$ (2)
Có $\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{FC} = \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{DF}$ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $\overrightarrow{KL} = \overrightarrow{NM}$
Vậy tứ giác MNKL là hình bình hành
b) Gọi I là trung điểm KM, LN có:
$\overrightarrow{EI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{EN} + \overrightarrow{EL}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\overrightarrow{ED} + \frac{1}{2}\overrightarrow{EC}$
$\overrightarrow{EI} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{ED} + \overrightarrow{EC}) = \frac{1}{4} . 2\overrightarrow{EF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{EF}$
Suy ra $\overrightarrow{EI}$ và $\overrightarrow{EF}$ cùng hướng
Vậy ba điểm E, I, F thẳng hàng
Xem toàn bộ: Giải SBT toán 10 kết nối Bài tập cuối chương IV
Bình luận