So sánh hai dây cung, hai đoạn thẳng

5.

a, Vẽ dây AB vuông góc với OM thì AM = MB = $\frac{AB}{2}$ và OM là khoảng cách từ tâm O đến dây AB.

Áp dụng hệ thức Py-ta-go vào tam giác OAM vuông tại M có cạnh huyền OA = 5cm, ta có:

OA$^{2}$ = AM$^{2}$ + MO$^{2}$ <=> 5$^{2}$ = AM$^{2}$ + 3$^{2}$

<=> AM$^{2}$ = 4$^{2}$ <=> AM = 4cm

Suy ra dây AB = 2AM = 2.4 = 8cm

Kẻ dây CD bất kì đi qua M và OI vuông góc với dây CD thì OI là khoảng cách từ tâm O đến dây CD. Lúc đó OI là đường vuông góc kẻ từ O đến dây CD và OM là đường xiên kẻ từ O đến dây CD.

Suy ra OI $\leq $ OM => CD $\geq $ AB = 8cm. Vậy AB = 8cm là dây ngắn nhất đi qua M.

b, Kéo dài OM cắt (O) tại E, F thì EF = 10cm là dây dài nhất đi qua M (vì trong một đường tròn dây dài nhất là đường kính).

6.

Vì OH đi qua trung điểm H của dây AB không đi qua tâm nên OH $\perp $ AB do đó OH là khoảng cách từ O đến dây AB

OK đi qua trung điểm K của dây CD không đi qua tâm nên OK $\perp $ CD do đó OK là khoảng cách từ O đến dây CD.

Áp dụng hệ thức Py-ta-go vào hai tam giác vuông MOH và MOK cùng chung cạnh huyền MO, ta có:

MO$^{2}$ = OH$^{2}$ + HM$^{2}$ = OK$^{2}$ + KM$^{2}$ (1)

Do AB > CD => OH < OK => OH$^{2}$ < OK$^{2}$ (2)

Từ (1) và (2) => MH$^{2}$ > MK$^{2}$ hay MH > MK