A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để xét vị trí tương đối giữa parabol (P): y = ax$^{2}$ và đường thẳng (d): y = kx + b, ta lập phương trình  ax$^{2}$ = kx + b hay ax$^{2}$ - kx - b = 0 (*). Số nghiệm của phương trình này chính là số điểm chung của hai đồ thị.

• (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ((d) và (P) có hai điểm chung phân biệt) ⇒ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0 hoặc Δ' > 0).
• (d) tiếp xúc với (P) ((d) và (P) có một điểm chung) phương trình (*) có nghiệm kép (Δ = 0 hoặc Δ' = 0).
• (d) và (P) không cắt nhau phương trình (*) vô nghiệm (Δ < 0 hoặc Δ' < 0).

Ví dụ: Cho parabol (P): y = ax$^{2}$ và đường thẳng d: y = kx + 3

a, Xác định các hệ số a và k, biết parabol và đường thẳng có một điểm chung là A(3; 18)

b, Từ kết quả của câu a, hãy tìm giao điểm thứ hai (nếu có) của (P) và (d).

Hướng dẫn:

a, Từ giả thiết suy ra điểm A(3; 18) thuộc (P) và (d), do đó ta có:

18 = 9a và 18 = 3k + 3

=> a = 2 và k = 5

Vậy a = 2 và k = 5.

b, Ta có hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình:

2x$^{2}$ = 5x + 3 <=> 2x$^{2}$ - 5x - 3 = 0

$\Delta =5^{2}-4.2.(-3)=49$ => $\sqrt{\Delta }=\sqrt{49}=7$

x₁ = $\frac{5+7}{4}$ = 3; x₂ = $\frac{5-7}{4}$ = -$\frac{1}{2}$

x₁ chính là hoành độ điểm A, với x₂ = -$\frac{1}{2}$ ta có y₂ = 2.(-$\frac{1}{2}$)$^{2}$ = $\frac{1}{2}$

Vậy giao điểm thứ hai của (P) và (d) là B(-$\frac{1}{2}$; $\frac{1}{2}$)