A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. So sánh các căn thức

• Với hai số dương a,b bất kì ta có: a < b <=> $\sqrt{a}<\sqrt{b}$
• A$^{2}$ ≥ 0 với mọi biểu thức A.

Ví dụ 1: Không dùng máy tính hãy so sánh:

a, $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ và $\sqrt{10}$

b, 16 và $\sqrt{15}.\sqrt{17}$

Hướng dẫn:

a, Giả sử $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ < $\sqrt{10}$ (1)

Ta có (1) <=> $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}$ < $\sqrt{10}^{2}$ 

<=> 2 + 3 + 2$\sqrt{6}$ < 10 <=> 2$\sqrt{6}$ < 5 <=> 24 < 25 (2) (luôn đúng)

Ta thấy (2) luôn đúng mà (1) <=> (2). Vaatyj (1) đúng hay $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ < $\sqrt{10}$

b, 16 = $\sqrt{16^{2}}$ = $\sqrt{256}$

$\sqrt{15}.\sqrt{17}$ = $\sqrt{15.17}=\sqrt{255}$

Vì 256 > 255 => $\sqrt{256}$ > $\sqrt{255}$ hay 16 > $\sqrt{15}.\sqrt{17}$

2. Chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN

• Biến đổi tương đương
• Biến đổi hệ quả
• Dùng bất đẳng thức Cô-si

Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức Cô-si cho hai số a và b không âm:

$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$

Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: $(a+b)^{2}\geq 4ab$

Hướng dẫn:

+ Ta có: $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$  (1) <=> $a+b\geq 2\sqrt{ab}$

<=> $a + b - 2\sqrt{ab}\geq 0$ <=> $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\geq 0$ (2) 

Do (2) đúng với mọi $a\geq 0$; $b\geq 0$. Mà (2) <=> (1) => (1) đúng

=> Đpcm

+ Áp dụng BĐT Cô-si ta được: $a+b\geq 2\sqrt{ab}$

Bình phương cả hai vế ta được:

 $(a+b)^{2}\geq 4ab$ => đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> a = b

Vi dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức sau:

$P=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}$

Hướng dẫn: 

Vì $\sqrt{x}\geq 0$ với mọi $x\geq 0$ và $x+\sqrt{x}+1=\left ( \sqrt{x}+\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{3}{4}>0$ với mọi $x\geq 0$

=>  $P\geq 0$ với mọi $x\geq 0$. Dấu "=" xảy ra khi x = 0

Vậy min P = 0 đạt được tại x = 0

Lại có: $(\sqrt{x}-1)\geq 0$ với mọi $x\geq 0$

=> 1 = $\frac{x+\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}\geq \frac{3\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}=3P$ hay $P\leq \frac{1}{3}$ với mọi $x\geq 0$

Dấu "=" xảy ra <=> $\sqrt{x}-1=0$ <=> $\sqrt{x}=1$ <=> x = 1

Vậy max P = $\frac{1}{3}$ đạt được tại x = 1.