A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Các bước giải

• Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của biểu thức.
• Phân tích tử thức, mẫu thức thành nhân tử, giản ước các nhân tử chung
• Quy đồng mẫu chung
• Thực hiện các phép toán thu gọn biểu thức

2. Một số bài toán phụ thường gặp

a, Tính giá trị biểu thức A(x) với x = m

• Thay x = m vào biểu thức đã rút gọn
• Nếu biểu thức đã rút gọn chứa căn, giá trị của biến chứa căn thức, ta biến đổi giá trị của biến về hằng đẳng thức.
• Nếu giá trị của biến chứa căn ở mẫu, ta trục căn thức ở mẫu trước khi thay vào biểu thức.

b, Tìm giá trị của x để A(x) = a (a là hằng số)

• Giải phương trình A(x) = a
• Sau khi tìm x đối chiếu lại với ĐKXĐ và kết luận

c, Tìm giá trị của x để: A(x) lớn hơn hoặc bé hơn một số hay một biểu thức.

• Giải bất phương trình: A(x) < B(x) (hoặc A(x) > B(x))
• Sau khi tìm x đối chiếu lại với ĐKXĐ và kết luận

d, Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức đã rút gọn nhận giá trị nguyên.

• Tách phần nguyên, xét ước
• Sau khi tìm x đối chiếu lại với ĐKXĐ và kết luận

e, Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức đã rút gọn.

• Đánh giá biểu thức, đưa về dạng hằng đẳng thức, bất đẳng thức cổ điển,...  tùy bài toán cụ thể mà ta chọn cách phù hợp.

f, So sánh biểu thức đã rút gọn với một số hay một biểu thức

• Xét hiệu A(x) - m và so sánh với 0
• A(x) - m > 0 thì A(x) > m
• A(x) - m < 0 thì A(x) < m
• A(x) - m = 0 thì A(x) = m

Ví dụ: Cho biểu thức: A = $\left ( \frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}} \right ):\left ( 1-\frac{3-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \right )$

a, Rút gọn A

b, Tính giá trị của biểu thức A khi x = 6 - 2$\sqrt{5}$

c, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.

d, Tìm giá trị của x để A = -3

e, Tìm giá trị của x để A < -1

Hướng dẫn:

a, ĐKXĐ của A là: x > 0 và x $\neq $ 1

A = $\left ( \frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}} \right ):\left ( 1-\frac{3-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \right )$

= $\left ( \frac{(\sqrt{x})^{3}-1}{\sqrt{x}.(\sqrt{x}-1)}-\frac{(\sqrt{x})^{3}+1}{\sqrt{x}.(\sqrt{x}+1)} \right ):\left ( \frac{\sqrt{x}+1-(3-\sqrt{x})}{\sqrt{x}+1} \right )$

= $\left ( \frac{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}.(\sqrt{x}-1)}-\frac{(\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}.(\sqrt{x}+1)} \right ):\left ( \frac{\sqrt{x}+1-3+\sqrt{x})}{\sqrt{x}+1} \right )$

= $\left ( \frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-\frac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} \right ):\left ( \frac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1} \right )$

= $\frac{x+\sqrt{x}+1-(x-\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}:\frac{2(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}+1}$

= $\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}+1}{2.(\sqrt{x}-1)}$ = $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$

Vậy A = $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$

b, Ta có: x = 6 - 2$\sqrt{5}$ = $(\sqrt{5}-1)^{2}$ 

=> $\sqrt{x}=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^{2}}=\sqrt{5}-1$

Thay vào A ta có:

A = $\frac{\sqrt{5}-1+1}{\sqrt{5}-1-1}$ = $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2}$

   = $\frac{\sqrt{5}.(\sqrt{5}+2)}{5-4}=5+2\sqrt{5}$

c, Ta có: A = $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$ = $\frac{\sqrt{x}-1+2}{\sqrt{x}-1}$

                 = $\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{\sqrt{x}-1}$ = $1+\frac{2}{\sqrt{x}-1}$

Để A có giá trị nguyên thì $\frac{2}{\sqrt{x}-1}$ nhận giá trị nguyên => $(\sqrt{x}-1)\in $ Ư(2) hay $(\sqrt{x}-1)\in $ {-2; -1; 1; 2}

+ Với $\sqrt{x}-1=-2$ <=> $\sqrt{x}=-1$ (loại vì giá trị của một căn bậc hai luôn dương)

+ Với $\sqrt{x}-1=-1$ <=> $\sqrt{x}=0$ <=> x = 0 (loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ)

+ Với $\sqrt{x}-1=1$ <=> $\sqrt{x}=2$ <=> x = 4 (thỏa mãn ĐKXĐ)

+ Với $\sqrt{x}-1=2$ <=> $\sqrt{x}=3$ <=> x = 9 (thỏa mãn ĐKXĐ)

Với với x = {4; 9} thì A nhận giá trị nguyên

d, Ta có A = -3 <=> $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$ = -3

<=> $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$ + 3 = 0

<=> $\frac{\sqrt{x}+1+3.(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}-1}$ + 3 = 0

=> $\sqrt{x}+1+3\sqrt{x}-3$ = 0

<=> $4\sqrt{x}=2$ <=> $\sqrt{x}=\frac{1}{2}$ <=> x = $\frac{1}{4}$

Vậy A = -3 khi x = $\frac{1}{4}$

e, Ta có: A < - 1 <=> $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$ < -1

<=> $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$ + 1 < 0

<=>  $\frac{\sqrt{x}+1+\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}$ < 0 

<=> $\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$ < 0 

<=> $\sqrt{x}-1$ < 0 (vì $2\sqrt{x}$ luôn dương)

<=> $\sqrt{x}$ < 1 <=> x < 1

Kết hợp với điều kiện xác định => 0 < x < 1

Vậy với 0 < x < 1 thì A < - 1