A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Đường tròn nội tiếp tam giác

• Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn.
• Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm các đường phân giác của các góc trong của tam giác.

2. Đường tròn bàng tiếp tam giác 

• Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
• Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác của các góc ngoài tại B và C
• Mỗi tam giác có ba đường tròn bàng tiếp.

3. Phương pháp chứng minh

• Xác định những đoạn tiếp tuyến bằng nhau
• Đại số hóa hình học
• Dùng phép tính cộng diện tích và phương pháp diện tích

Ví dụ: Cho (I) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA theo thứ tự tại D, E, F. Chứng minh rằng:

a, 2AD = AB + AC - BC

b, Tìm hệ thức tương tự như hệ thức ở câu a).

Hướng dẫn:

a, Trên hình vẽ có những đoạn tiếp tuyến bằng nhau: AD = AF, BD = BE và CE = CF

Đặt AD = AF = x; BD = BE = y; CE = CF = z thì:

x + y = AB (1); y + z = BC (2) và z + x =  CA (3)

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3), ta có:

x + y + z = $\frac{AB+BC+AC}{2}$ (4)

Trừ vế với vế của (4) cho (2) ta có: 

x = $\frac{AB+BC+AC}{2}$ - BC <=> 2x = AB + AC - BC

Vậy 2AD = AB + AC - BC

b, Tương tự lấy (4) trừ (1) và (4) trừ (3) ta có:

2BE = BA + BC - CA và 2CF = CA + CB - AB.