Bài tập đường tròn nội tiếp tam giác

1. a, Tính diện tích tam giác ABC bằng hai cách:

Cách 1: 2S = a.h_a = b.h_b = c.h_c = $\frac{a}{\frac{1}{h_{a}}}+\frac{b}{\frac{1}{h_{b}}}+\frac{c}{\frac{1}{h_{c}}}=\frac{a+b+c}{\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}}$ (1)

Cách 2: S = S_IAB + S_IBC + S_IAC = $\frac{1}{2}$r.AB + $\frac{1}{2}$r.BC + $\frac{1}{2}$r.AC 

<=> 2S = r(AB + AC + BC) = 2rp (2)

Từ (1) và (2) => $\frac{a+b+c}{\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}}$ = 2pr

<=> $\frac{2p}{\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}}$ = 2pr

<=> $\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{1}{r}$ (đpcm)

b, Tương tự câu a, ta có: 

2S = a.h_a = b.h_b = c.h_c = $\frac{h_{a}}{\frac{1}{a}}+\frac{h_{b}}{\frac{1}{b}}+\frac{h_{c}}{\frac{1}{c}}=\frac{h_{a}+h_{b}+h_{c}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$ = 2pr

Vậy h_a + h_b + h_c = 2pr($\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$)

2. Gọi E, F lần lượt là tiếp điểm của (I) với BC, CA.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì CE = CF = x, BE = BD = z và AD = AF = y

Theo giả thiết: CA.CB = 2DA.DB

<=> (x + y)(x + z) = 2yz

<=> x$^{2}$ + xy + xz = yz

<=> 2x$^{2}$ + 2xy + 2xz = 2yz

<=> 2x$^{2}$ + 2xy + 2zx + yx$^{2}$ + zx$^{2}$ = 2yz + yx$^{2}$ + zx$^{2}$

<=> (x + y)$^{2}$ + (z + x)$^{2}$ = (y + z)$^{2}$

<=> CA$^{2}$ + AB$^{2}$ = CB$^{2}$

Theo định lý Py-ta-go đảo => Tam giác ABC vuông tại C