A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Chứng minh các hệ thức liên hệ giữa các cạnh của tứ giác ngoại tiếp

Ta có nhận xét sau: Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) $\Leftrightarrow $ AB + CD = BC + AD

Ví dụ 1: Cho hình thang vuông ABCD ($\widehat{A}=\widehat{D}=90^{\circ}$ ngoại tiếp đường tròn (O). Tìm độ dài các cạnh AB và CD biết OB = 15cm và OC = 20cm.

Hướng dẫn:

Xét $\Delta $COB có : $\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=\frac{\widehat{ABC}+\widehat{BCD}}{2}=90^{\circ}$

$\Rightarrow \Delta $BOC vuông tại O. Từ đó $BC^{2}=OB^{2}+OC^{2}=15^{2}+20^{2}$

$\Rightarrow BC=25$ (cm)

Giả sử đường tròn (O) tiếp xúc với BC tại K, kẻ BH $\perp $ CD. Ta thấy:

OK.BC = OB.OC suy ra OK = $\frac{OB.OC}{BC}=\frac{15.20}{25}=12$(cm)

Đặt CD = a, AB = b thì HC = a-b = 7cm . Vì ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) nên AB + CD = BC + AD hay BC + AD = a + b = 49 

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}a-b=7\\a+b=49 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow $ a= 28 và b = 21

2. Chứng minh tứ giác ngoại tiếp

- Ta dựa vào dấu hiệu tứ giác ngoại tiếp.

- Hoặc dựa vào nhận xét: Nếu tứ giác ABCD có AB + CD = BC + AD thì nó ngoại tiếp đường tròn.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm I thì ta có hệ thức: $BI^{2}+\frac{AI}{DI}.BI.CI = AB.BC$

Hướng dẫn:

Lấy điểm P ngoài tứ giác ABCD sao cho $\Delta PAB\sim \Delta IDC$. Khi đó ta có $\widehat{PAB}=\widehat{IDC}=d$; $\widehat{PAB}=\widehat{ICD}=c$ 

$\Rightarrow \widehat{PAB}=\widehat{IDC}=c$

Suy ra $\widehat{PAI}+\widehat{PBI}=a+b+c+d=180^{\circ}$ nên tứ giác PAIB nội tiếp.

Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác nội tiếp này ta có:

BI.PQ + PB.AI = PI.AB hay BI.$\frac{PA}{PI}$ = AB (1)

Mặt khác $\widehat{PAI}=\widehat{IBA}=b$; $\widehat{BPI}=\widehat{BAI}=a; \widehat{PIA}=\widehat{PBA}=c;\widehat{PAB}=\widehat{PIB}=d$ nên 

$\Delta PIA\sim \Delta BCI$

$\Rightarrow \frac{IA}{PI}=\frac{IC}{BC};\frac{AP}{PI}=\frac{BI}{BC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BI^{2}$ + PB.IC = AB.BC (3)

Lại vì $\Delta PBI\sim \Delta AID$ nên $\frac{PB}{BI}=\frac{IA}{ID}$ hay PB = BI.$\frac{IA}{ID}$

Thay (3) vào ta được $BI^{2}+\frac{AI}{BI}.BI.CI = AB.BC$ (đpcm)

Lưu ý: Lập luận tương tự ta cũng có hệ thức $CI^{2}+\frac{DI}{AI}.BI.CI = CD.CB$