A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Định li Vi-ét

Cho phương trình bậc hai ax$^{2}$ + bx + c=  0 ($a\neq 0$) (1)

• Nếu x₁ , x₂ là hai nghiệm của phương trình (1) thì: 

$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} &  & \\ x_{1}x_{2}=\frac{c}{a} &  & \end{matrix}\right.$

2. Hệ quả

• Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm x₁ = 1 và x₂ = $\frac{c}{a}$
• Nếu a - b + c = 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm x₁ = -1 và x₂ = -$\frac{c}{a}$
• Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0
• Nếu hai số u và v thỏa mãn u + v = S và u.v = P ($S^{2}\geq 4P$), thì hai số đó là các nghiệm của phương trình x$^{2}$ - Sx + P = 0.

Ví dụ 1: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích hai nghiệm của các phương trình nếu có:

a, $4x^{2}+7x+2=0$           b, $-3x^{2}+x+1=0$

Hướng dẫn:

a, Vì $\Delta $ = 49 - 32 = 17 > 0 nên phương trình có hai nghiệm x₁; x₂. Theo định lí Vi-ét:

x₁ + x₂ = $-\frac{7}{4}$ và x₁.x₂ = $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

b, Vì phương trình có a và c trái dấu nên nó có hai nghiệm phân biệt. Theo định lí Vi-ét:

x₁ + x₂ = $-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3}$ và x₁.x₂ = $\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$

Ví dụ 2: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 14 và tích của chúng bằng 3.

Hướng dẫn:

Nếu hai số này tồn tại thì chúng là hai nghiệm của phương trình:

$x^{2}-14x+3=0$ 

$\Delta' =7^{2}-1.3=46$; $\sqrt{\Delta' }=\sqrt{46}$

x₁ = 7 + $\sqrt{46}$ và x₂ = 7 - $\sqrt{46}$

Vậy hai sô cần tìm là 7 + $\sqrt{46}$ và 7 - $\sqrt{46}$