A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).

Để chứng minh tứ giác nội tiếp hình tròn, ta dựa vào các hệ quả, cách nhận biết để giải.

Ta có thể rút ra các hệ quả sau:

- Góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác nội tiếp bằng góc trong tại đỉnh đối diện. Đảo lại, nếu góc ngoài ở một đỉnh của tứ giác bằng góc trong ở đỉnh đối diện thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn.

ABCD nội tiếp $\Leftrightarrow \widehat{BAD}=\widehat{DCx}$

- Hình thang nội tiếp được trong một hình tròn khi và chỉ khi nó là hình thang cân.

* Cách nhận biết một tứ giác nội tiếp:

- Dựa vào định nghĩa tứ giác nội tiếp.

- Chứng minh tứ giác đó có hai góc đối bù nhau (hoặc tứ giác đó có một góc bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện)

- Dựa vào khái niệm cung chứa góc: Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn.

Ví dụ 1: Cho $\Delta $ABC cân tại A, $\widehat{A}<90^{\circ}$, đường cao BD. Gọi M, N, I theo thứ tự là trung điểm của các đoạn BC, BM và BD. Tia NI cắt cạnh AC tại K. Chứng minh rằng:

a) Các tứ giác ABMD, ABNK nội tiếp.

b) $BC^{2}=\frac{4}{3}CA.CK$

Hướng dẫn:

a) Do $\Delta $ABC cân tại A nên AM $\perp $ BM. 

Lại có BD $\perp $ AD do đó tự giác ABMD nội tiếp đường tròn đường kính AB.

Mặt khác NI là đường trung bình của $\Delta $BMD nên NI // MD. Do đó $\widehat{KNC}=\widehat{DMC}$. Hơn nữa $\widehat{DMC}=\widehat{KAB}$ (tính chất tứ giác nội tiếp ABMD)

$\Rightarrow \widehat{KNC}=\widehat{KAB}$ (1)

Từ đây ta thấy tứ giác ABNK nội tiếp (đpcm)

b) Ta có $\widehat{NKC}=\widehat{ABC}$ (tứ giác ABNK nội tiếp)

Kết hợp với (1) ta có $\Delta ABC\sim \Delta NKC$

$\Rightarrow \frac{BC}{CK}=\frac{CA}{NC}\Rightarrow BC.CN=CA.CK$

Mặt khác, dễ thấy NC = $\frac{3}{4}$BC, do đó $BC^{2}=\frac{4}{3}BC.NC=\frac{4}{3}CA.CK$ (đpcm)

2. Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn

- Ta dựa vào cách chứng minh tam giác, tứ giác nội tiếp.

- Dựa vào kết quả: Nếu IM.IH = IN.IK thì bốn điểm H, M, N, K cùng nằm trên đường tròn.

Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD, I là trung điểm của CD, E thuộc cạnh AB. Qua I kẻ IM vuông góc với DE, cắt AD tại H. Qua I kẻ IN vuông góc với CE, cắt BC tại K. Gọi G là giao điểm của EI và HK. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm H, M, N, K cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh năm điểm E, G, N, K, B cùng thuộc một đường tròn.

c) Năm điểm E, G, M, H, A cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn:

a) Sử dụng hệ thức lượng cho các tam giác vuông IDH và IKC, ta thấy:

$ID^{2} = IM.IH$ 

$IC^{2} = IN.IK$ 

Mà IC = ID nên ta có IM.IH = IN.IK

$\Rightarrow $ H, M, N, K cùng nằm trên một đường tròn

b) Từ kết quả câu a) ta có $\widehat{IMN}=\widehat{IKH}$

Lại có tứ giác EMIN nội tiếp (do $\widehat{M}=\widehat{N}=90^{\circ}$) nên $\widehat{IMN}=\widehat{IEN}$

$\Rightarrow \widehat{IEN}=\widehat{IKH}$

$\Rightarrow $ tứ giác EGNK nội tiếp 

Từ đó $\widehat{EGK}=\widehat{ENK}=90^{\circ}$. Kết hợp với $\widehat{EBK}=90^{\circ}$ ta thấy năm điểm E, G, N, B, K cùng nằm trên đường tròn đường kính EK (đpcm)