Bài tập tìm tham số m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

4. $\Delta' =(m+1)^{2}-m^{2}-m=m+1$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m + 1 > 0 <=> m > -1

b, Theo định lí Vi-ét:

x₁ + x₂ = 2(m + 1) và x₁.x₂ = $m^{2}+m$

Do đó: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$ 

= $[2(m+1)]^{2}-2(m^{2}+m)=4m^{2}+8m+4-2m^{2}-2m$ = $2m^{2}+6m+4$

Ta lại có $|x_{1}^{2}-x_{2}^{2}|=|x_{1}+x_{2}|.|x_{1}-x_{2}|=|x_{1}+x_{2}|.\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}$

= $|2(m+1)|.\sqrt{4(m+1)^{2}-4(m^{2}+m)}$ = $4|m+1|\sqrt{m+1}$

5. Điều kiện có nghiệm: $\Delta' =(m-2)^{2}-4(m+5)\geq 0$ <=> $m^{2}-8m-16\geq 0$ (*)

Từ phương trình $x^{2}+(m-2)x+m+5=0$ ta có: $\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2-m &  & \\ x_{1}.x_{2}=m+5 &  & \end{matrix}\right.$

Theo giả thiết $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$

<=> $(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=10$ 

<=> $(2-m)^{2}-2(m+5)$ = 10 <=> $m^{2}-6m - 16 = 0$

Giải phương trình với ẩn m: $\Delta' =3^{2}-(-16)=25$ => $\sqrt{\Delta' }=\sqrt{25}=5$

m₁ =  3+ 5 = 8; m₂ = 3 - 5 = -2

Thay m₁ = 8 và m₂ = -2 vào (*), ta thấy chỉ có m₂ = -2 thỏa mãn.

Vậy m = -2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$