Bài tập về chứng minh tứ giác ngoại tiếp đường tròn

1.

Giả sử đường tròn nội tiếp $\Delta $ABC tiếp xúc với cạnh AC tại điểm E, đường tròn nội tiếp $\Delta $ACD tiếp xúc với cạnh AC tại điểm F.

Ta sẽ chứng minh E trùng F.

Thật vậy, ta có 2AE = AB + AC - BC

2AF = AD + AC - CD

Nên 2|AE - AF| = |(AB+AC-BC) - (AD+AC-CD)| = |(AB+CD) - (AD+BC)| (1)

Vì ABCD là tứ giác ngoại tiếp nên AB + CD = AD + BC

Do đó từ (1) suy ra |AE - AF| = 0 $\Leftrightarrow $ AE = AF.

Nghĩa là E trùng F.

2. 

Nhận thấy, nếu ABCD là hình thang thì kết quả đúng hiển nhiên.

Giả sử tứ giác ABCD không có hai cạnh nào song song.

Xét trường hớp AB > CD và BC > AD.

Kéo dài các cạnh đối của hai tứ giác ABCD và APCQ cắt nhau tại E, F, K (H).

Vì ABCD là tứ giác ngoại tiếp nên ta có:

CF + CK = AF + AK $\Leftrightarrow $ AE + CK = CE + AK (do tứ giác AECF là hình bình hành)

Do đó tứ giác APCQ ngoại tiếp được một đường tròn.

3.

Từ giả thiết suy ra O1, O2 nằm trên trục đối xứng MN của hình thang cân ABCD (M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD)

Vì $\widehat{BAO_{2}}+\widehat{CDO_{2}}=\frac{1}{2}(\widehat{BAD}+\widehat{ADC})=90^{\circ}$

Mà $\Delta AMO_{2}\sim \Delta O_{2}ND\Rightarrow \frac{AM}{O_{2}N}=\frac{MO_{2}}{ND}$ $

Suy ra $AM.DN=O_{2}M.O_{2}N = r^{2}$. Sử dụng định lí Py-ta-go cho $\Delta AMO_{1}$ và $\Delta DNO_{1}$ ta có:

$2R^{2}=AO_{1}^{2}+O_{1}D=AM^{2}+MO_{1}^{2}+DN^{2}+NO_{1}^{2}$

      = $AM^{2}+DN^{2}+(r+d)^{2}+(r-d)^{2}$

      $\geq 2AM.DN + 2(r^{2}+d^{2})=4r^{2}+2d^{2}$

Do đó $R^{2}-d^{2}\geq 2r^{2}$, suy ra $\frac{1}{r^{2}}\geq \frac{2}{R^{2}-d^{2}}$ (đpcm)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AM = DN, hay AB = CD, tức là ABCD là hình vuông (lúc này d = $O_{1}O_{2}$ = 0)