Bài tập về chứng minh các hệ thức liên hệ giữa các cạnh của tứ giác ngoại tiếp

4. 

Kẻ BE $\perp $ CD (E thuộc CD). Ta có BE = AD = 12cm.

Đặt BC = a, CE = b. Do tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) nên AB + CD = AD + BC

$\Leftrightarrow $ 10 + 10 + b = 12 + a

$\Leftrightarrow $ a - b = 8

Từ định lý Py-ta-go cho tam giác vuông BEC, ta có:

$BE^{2}=BC^{2}-CE^{2}$ hay $a^{2}-b^{2}=144$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}a-b=8\\ a^{2}-b^{2}=144\end{matrix}\right.$ ta được a = 13 và b = 15

Vậy BC = 13cm và CD = 15cm

5.

Giả sử đường tròn nội tiếp $\Delta $ABC tiếp xúc với cạnh AC tại điểm E, đường tròn nội tiếp $\Delta $ACD tiếp xúc với cạnh AC tại điểm F.

Ta sẽ chứng minh E trùng với F.

Thật vậy ta có:

2AE = AB + AC - BC

2AF = AD + AC - CD

Do đó 2|AE - AF| = |(AB + AC - BC) - (AD + AC - CD)|

                 = |(AB + CD) - (AD + BC)|   (1)

Vì ABCD là tứ giác ngoại tiếp nên AB + CD = AD + BC

Do đó từ (1) ta suy ra:

|AE - AF| = 0 $\Leftrightarrow $ AE = AF. Hay E trùng F