Bài tập chứng minh biểu thức không đổi khi một điểm di chuyển trên đường tròn

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

a, $\left\{\begin{matrix}\widehat{O_{1}}=\widehat{O_{2}} &  & \\ \widehat{O_{3}}=\widehat{O_{4}} &  & \end{matrix}\right.$

=> $\widehat{AOB}=\widehat{O_{1}}+\widehat{O_{2}}+\widehat{O_{3}}+\widehat{O_{4}}$

= $2\widehat{O_{1}}+2\widehat{O_{3}}=2.(\widehat{O_{1}}+\widehat{O_{3}})=2\widehat{COD}=180^{0}$

=> $\widehat{COD}=\frac{180^{0}}{2}=90^{0}$

b, $\left\{\begin{matrix}CM=CA &  & \\ DM=DB &  & \end{matrix}\right.$

=> CD = CM + MD = CA + BD

c, Gọi bán kính của nửa đường tròn là R thì OM = R

Áp dụng hệ thức về đường cao cho tam giác COD vuông tại O, ta có:

OM$^{2}$ = MC.MD = AC.BD = R$^{2}$

R$^{2}$ không đổi => Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.