Tìm giá trị của biến để biểu thức thỏa mãn đẳng thức, bất đẳng thức

a, R = $\left ( 1+\frac{\sqrt{x}}{x+1} \right ):\left ( \frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+\sqrt{x}-x-1} \right )$

= $\frac{x+1+\sqrt{x}}{x+1}:\left ( \frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(x+1)-(x+1)} \right )$

= $\frac{x+1+\sqrt{x}}{x+1}:\left ( \frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(x+1)} \right )$

= $\frac{x+1+\sqrt{x}}{x+1}:\frac{x+1-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(x+1)} $

= $\frac{x+1+\sqrt{x}}{x+1}:\frac{(\sqrt{x}-1) ^{2}}{(\sqrt{x}-1)(x+1)} $

= $\frac{x+1+\sqrt{x}}{x+1}:\frac{\sqrt{x}-1}{x+1} $

= $\frac{x+1+\sqrt{x}}{x+1}.\frac{x+1}{\sqrt{x}-1} $

= $\frac{x+1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$

Vậy R = $\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$

b, Do $x\geq 0, x\neq 1$ nên R = 7 <=> $\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$ = 7

<=> $x+\sqrt{x}+1=7.(\sqrt{x}-1)$ <=> $x-6\sqrt{x}+8 = 0$

<=> $(\sqrt{x}-2)( \sqrt{x}-4) = 0$ <=> $\sqrt{x}-2=0$ hoặc $ \sqrt{x}-4=0$

<=> $\sqrt{x}=2$ hoặc $ \sqrt{x}=4$ <=> x = 4 hoặc x = 16

Ta thấy x = 4 và x = 16 đều thỏa mãn điều kiện $x\geq 0,x\neq 1$

Vậy x = 4 , x = 16 thì R = 7

c, $x=2(2+\sqrt{3})=4+2\sqrt{3}=(\sqrt{3}+1)^{2}$ thỏa mãn điều kiện $x\geq 0, x\neq 1$

<=> $\sqrt{x}=\sqrt{3}+1$

Thay vào R ta có:

$R=\frac{4+2\sqrt{3}+\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1-1}=\frac{6+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{9+6\sqrt{3}}{3}=3+2\sqrt{3}$

d, Do $x\geq 0, x\neq 1$ nên R < 1 <=> $\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$ < 1

<=> $\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-1<0$

<=> $\frac{x+\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}<0$

<=> $\frac{x+2}{\sqrt{x}-1}<0$ ó $\sqrt{x}-1<0$ (vì với $x\geq 0,x\neq 1$ thì (x +2) > 0)

<=> $\sqrt{x}<1$ ó x < 1

Kết hợp với điều kiện $x\geq 0, x\neq 1$ => $0\leq x<1$

Vậy với $0\leq x<1$ thì R < 1