Bài toán parabol cắt đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

4. Để (P) tiếp xúc với d tại điểm có hoành độ là x = -2 thì phương trình m$x^{2}$ = nx + 4 phải có nghiệm kép x = -2 hay phương trình m$x^{2}$ - nx - 4 = 0 có nghiệm kép x = -2.

<=> $\left\{\begin{matrix}m(-2)^{2}-n.(-2)-4=0 &  & \\ n^{2}=4.4m=0 &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}m=-1 &  & \\ n=4 &  & \end{matrix}\right.$

5. Đường thẳng y = mx + n đi qua A(-1; 0) <=> 0 = m.(-1) + n <=> n = m

Phương trình đường thẳng có dạng y = mx + m

Đường thẳng tiếp xúc với parabol khi và chỉ khi phương trình $\frac{1}{2}x^{2}$ = mx + m (1) có nghiệm kép.

(1) <=> $\frac{1}{2}x^{2}$ - mx - m = 0

<=> $x^{2}$ - 2mx - 2m = 0

Điều kiện để (1) có nghiệm kép: $\Delta' =0$ <=> $m^{2}+2m=0$

<=> m.(m + 2) = 0

<=> m = 0 hoặc m = -2

+ Với m = 0, đường thẳng là y = 0 (trục hoành), nghiệm kép của (1) là x = 0

Ta có tiếp điểm O(0; 0)

+  Với m = -2, tiếp tuyến có phương trình y = -2x - 2

Phương trình (1) có dạng  $x^{2}$ - 4x + 4 = 0 <=> x = -2. Tiếp điểm là B(-2; 2)