Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai dây bằng nhau

1.

a, Vì AB = CD nên hai dây AB, CD cách đều tâm tức là: OH = OK 

Xét tam giác EHO và tam giác EKO có:

• $\widehat{EHO}=\widehat{EKO}=90^{0}$
• Chung cạnh EO
• OH = OK

=> $\Delta $EHO = $\Delta $EKO (c-g-c)

=> EH = EK (đpcm)

b, Vì OH vuông góc với dây AB nên OH đi qua trung điểm của dây AB

=> AH = HB = $\frac{AB}{2}$ (1)

Vì OK vuông góc với dây CD nên OK đi qua trung điểm của dây CD

=> CK = KD = $\frac{CD}{2}$ (2)

Mà AB = CD nên từ (1) và (2) suy ra: AH = CK

Ta có: EH = EA + AH và EK =  EC + CK 

Mà EH = EK và AH = CK

=> EA = EC (đpcm)

2.

a, Kẻ OH $\perp $ AM, OK $\perp $ BN thì OH và OK lần lượt là khoảng cách từ tâm O đến dây AM và BN

Do AM = BN nên OH = OK 

Xét tam giác OHC và OKC có:

• $\widehat{OHC}=\widehat{OKC}=90^{0}$
• Chung cạnh OC
• OH = OK

=> $\Delta $OHC = $\Delta $OKC (c-g-c)

=> $\widehat{O_{1}}=\widehat{O_{2}}$ (1)

Xét tam giác OHA và OKB có:

• $\widehat{OHA}=\widehat{OKB}=90^{0}$
• OH = OK

=> $\Delta $OHA = $\Delta $OKB (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

=> $\widehat{O_{3}}=\widehat{O_{4}}$ (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có:

$\widehat{O_{1}}+\widehat{O_{3}}=\widehat{O_{2}}+\widehat{O_{4}}$

<=> $\widehat{AOC}=\widehat{COB}$

Vậy OC là phân giác của góc AOB

b, Tam giác AOB cân tại O có OC là phân giác của góc AOB => OC là đường cao của tam giác AOB

=> OC $\perp $ AB