Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai dây bằng nhau

1. Cho (O) có các dây AB và CD bằng nhau. Các tia AB, CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:

a, EH = EK

b, EA = EC

2. Cho (O) các bán kính OA và OB. Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Gọi C là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng:

a, OC là phân giác của góc AOB.

b, OC vuông góc với AB.


1.

Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai dây bằng nhau

a, Vì AB = CD nên hai dây AB, CD cách đều tâm tức là: OH = OK 

Xét tam giác EHO và tam giác EKO có:

  • \widehat{EHO}=\widehat{EKO}=90^{0}
  • Chung cạnh EO
  • OH = OK

=> \Delta EHO = \Delta EKO (c-g-c)

=> EH = EK (đpcm)

b, Vì OH vuông góc với dây AB nên OH đi qua trung điểm của dây AB

=> AH = HB = \frac{AB}{2} (1)

Vì OK vuông góc với dây CD nên OK đi qua trung điểm của dây CD

=> CK = KD = \frac{CD}{2} (2)

Mà AB = CD nên từ (1) và (2) suy ra: AH = CK

Ta có: EH = EA + AH và EK =  EC + CK 

Mà EH = EK và AH = CK

=> EA = EC (đpcm)

2.

Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai dây bằng nhau

a, Kẻ OH \perp AM, OK \perp BN thì OH và OK lần lượt là khoảng cách từ tâm O đến dây AM và BN

Do AM = BN nên OH = OK 

Xét tam giác OHC và OKC có:

  • \widehat{OHC}=\widehat{OKC}=90^{0}
  • Chung cạnh OC
  • OH = OK

=> \Delta OHC = \Delta OKC (c-g-c)

=> \widehat{O_{1}}=\widehat{O_{2}} (1)

Xét tam giác OHA và OKB có:

  • \widehat{OHA}=\widehat{OKB}=90^{0}
  • OH = OK

=> \Delta OHA = \Delta OKB (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

=> \widehat{O_{3}}=\widehat{O_{4}} (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có:

\widehat{O_{1}}+\widehat{O_{3}}=\widehat{O_{2}}+\widehat{O_{4}}

<=> \widehat{AOC}=\widehat{COB}

Vậy OC là phân giác của góc AOB

b, Tam giác AOB cân tại O có OC là phân giác của góc AOB => OC là đường cao của tam giác AOB

=> OC \perp AB


Bình luận

Giải bài tập những môn khác