Lời giải Bài 5 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh

Lời giải  bài 5 :

Đề bài :

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}$ với 0< x<1 .

Hướng dẫn giải chi tiết :

Ta có : $y=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}$ 

                =  $y=\frac{2}{1-x}-2+\frac{1}{x}-1+3$ 

                =  $y=\frac{2}{1-x}+\frac{x-1}{x}+3$ 

Vì  0< x<1  => $\frac{2}{1-x}>0;\frac{x-1}{x}>0$ 

Áp dụng BĐT Cô-si , ta có :  $\frac{2}{1-x}+\frac{x-1}{x} \geq 2\sqrt{\frac{2}{1-x}.\frac{x-1}{x}}=2\sqrt{2}$

Dấu " = " xảy ra <=>  $\frac{2}{1-x}=\frac{x-1}{x} $

<=>  $x^{2}+2x-1=0<=> x_{1}=-1+\sqrt{2};x_{2}=-1-\sqrt{2}$

+ Với  $ x_{1}=-1+\sqrt{2}$  => ( t/mãn  vì 0< x<1 ) .

+ Với  $ x_{2}=-1-\sqrt{2}$   =>  ( loại vì x < 0 ) .

=>  $y\geq 2\sqrt{2}+3$ 

Dấu " = " xảy ra  <=>  $ x_{1}=-1+\sqrt{2}$

Vậy $y_{min}=2\sqrt{2}+3$  khi $ x_{1}=-1+\sqrt{2}$ .