Lời giải Bài 1 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh

Lời giải  bài 1 :

Đề bài :

Cho biểu thức $A=\frac{a^{2}+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{2a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+1$ , với a > 0.

a.  Rút gọn A.

b.  Tìm giá trị của a để A = 2.

c.  Tìm giá trị nhỏ nhất của A . 

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.    $A=\frac{a^{2}+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{2a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+1$ , với a > 0.

+  Với a > 0 => $\sqrt{a}$ có nghĩa .

Khi đó :  $a-\sqrt{a}+1=(\sqrt{a}-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}>0$   với a > 0.

=> A có nghĩa  với a > 0.

=>  $A=\frac{\sqrt{a}\left [ (\sqrt{a})^{3} +1\right ]}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{\sqrt{a}(2\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}}+1$

<=>  $A=a-\sqrt{a}$ .

b.  Để A = 2 <=>  $A=a-\sqrt{a}$ = 2   <=>   $a-\sqrt{a}-2=0$    (*)

Đặt  $\sqrt{a}=t(t>0)$  

(*) <=>  $t^{2}-t-2=0$

Ta có : $\Delta =(-1)^{2}-4.1.(-2))=9>0=> \sqrt{\Delta }=3$

=>  $t_{1}=-1;t_{2}=2$

+  Với  $t_{1}=-1$  =>  ( loại vì t < 0 ) .

+  Với  $t_{2}=2<=>  \sqrt{a}=2=> a=4$   ( t/mãn ) .

Vậy a = 4 thỏa mãn yêu cầu bài ra .

c.  Ta có : $A=a-\sqrt{a}=a-2\sqrt{a}\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2}-(\frac{1}{2})^{2}$ .

<=>   $(\sqrt{a}-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4\geq -\frac{1}{4}},  \forall  a>0$

Dấu " = " xảy ra  <=>  $\sqrt{a}-\frac{1}{2}=0<=> a=\frac{1}{4}$  ( t/mãn đk a> 0 ) .

Vậy  $A_{min}=\frac{-1}{4}$ khi  $a=\frac{1}{4}$ .