Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh

Lời giải  bài 4:

Đề bài :

Cho đường tròn (O) và một điểm P ở ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến PA, PB với đường tròn (O) (A ,B là hai tiếp điểm). PO cắt đường tròn tại hai điểm K và I ( K nằm giữa P và O) và cắt AB tại H. Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, C là giao điểm của PD và đường tròn (O).

a.  Chứng minh tứ giác BHCP nội tiếp.

b.  Chứng minh  $AC\perp CH$ .

c.  Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH cắt IC tại M. Tia AM cắt IB tại Q. Chứng minh M là trung điểm của AQ. 

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.  Xét  $\triangle ABP$ , ta có:

• PA = PB.
• $\widehat{APO}=\widehat{OPB}$   ( tính giất hai tiếp tuyến cắt nhau ) .

=>   $\triangle ABP$  cân tại P và  PO là phân giác .

=> PO cũng là đường cao, trung tuyến của  $\triangle ABP$ .

Xét tứ giácBHCP , ta có :  

• $\widehat{BHP}=90^{\circ}$    ( vì  $PO\perp AB$ ) .
• $\widehat{BCP}=90^{\circ}$   ( vì kề bù  $\widehat{BCD}=90^{\circ}$  ( nội tiếp nửa đường tròn (O) ) .

=> Tứ giác BHCP nội tiếp ( Qũy tích cung chứa góc )  .

b.   Xét $\triangle ACH$ , ta có :

• $\widehat{HAC}=\widehat{B_{1}}$           ( chắn cung $\widehat{BKC}$ của đường tròn (O))
• $\widehat{H}=\widehat{B_{1}}$                (  do BHCP nội tiếp )

=>  $\widehat{HAC}=\widehat{H_{1}}$   

Mà  :  $\widehat{AHC}+\widehat{H_{1}}=90^{\circ}$   ( vì $PO\perp AB$ ) 

=>  $\widehat{AHC}+\widehat{HAC}=90^{\circ}$   

=>  $\triangle ACH$ vuông tại C  <=>   $AC\perp CH$ .   ( đpcm )

c.  Xét tứ giác ACHM ,  ta có : M nằm trên đường tròn ngoại tiếp $\triangle ACH$ )

=> Tứ giác ACHM nội tiếp .

=>   $\widehat{CMH}=\widehat{HAC}$     (chắn cung HC )

Mà  $\widehat{HAC}=\widehat{BIC}$     (chắn cung BC của đường tròn (O))

=>    $\widehat{CMH}=\widehat{BIC}$   

=> MH // BI    ( vì cặp góc đồng vị bằng nhau ) .

Xét  $\triangle ABQ$ , ta có :

AH = BH            ( do PH là trung tuyến $\triangle APB$  )

MH // BI             ( c/m trên )

=> MH là đường trung bình  $\triangle ABQ$ .

=> M là trung điểm của AQ .   ( đpcm )