Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh

Lời giải  bài 3 :

Đề bài :

Tìm x, y nguyên sao cho  $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{18}$ .

Hướng dẫn giải chi tiết :

Ta có :   $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{18}$ .          (*)

Đk  :  $x\geq 0;y\geq 0;\sqrt{x}\geq 0;\sqrt{y}\geq 0$

(*)  <=>   $\sqrt{x}+\sqrt{y}=3\sqrt{2}$ .     (**)

Kết hợp đk   =>  $\sqrt{x}\leq 3\sqrt{2};\sqrt{y}\leq 3\sqrt{2}$ .

(**) =>  $\sqrt{x}=3\sqrt{2}-\sqrt{y}$  <=>  $(\sqrt{x})^{2}=(3\sqrt{2}-\sqrt{y})^{2}$

<=>  $6\sqrt{2y}=y-x+18$  <=>  $\sqrt{2y}=\frac{y-x+18}{6}\in Q$

<=>  $\sqrt{2y}=a\in Q$

<=>  $2y=a^{2}\in Q$

<=>  $\left\{\begin{matrix}a^{2}\in N ( 2y\in Z , a\geq 0) & \\ a\vdots 2 & \end{matrix}\right.$

Mà  a = 2m  =>  $2y=(2m)^{2}=4m^{2}=> y=2m^{2}=> \sqrt{y}=m\sqrt{2}$    

Tương tự , ta có : $ \sqrt{x}=n\sqrt{2}$                                                                

Thay giá trị $ \sqrt{y};\sqrt{x}$ vào (**)  , ta được  : $n\sqrt{2}+m\sqrt{2}=3\sqrt{2}$  <=>  n + m = 3 .

+ TH 1 :  $\left\{\begin{matrix}n=0 & \\ m=3 & \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix}x=0 & \\ y=18 & \end{matrix}\right.$

+ TH 2 :  $\left\{\begin{matrix}n=1 & \\ m=2 & \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix}x=2 & \\ y=8 & \end{matrix}\right.$

+ TH 3 :  $\left\{\begin{matrix}n=2 & \\ m=1 & \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix}x=8 & \\ y=2 & \end{matrix}\right.$

+ TH 4 :  $\left\{\begin{matrix}n=3& \\ m=0 & \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix}x=18 & \\ y=0 & \end{matrix}\right.$

Vậy để  $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{18}$  thì tồn tại 4 cặp giá trị ( x ; y ) như trên .