Lời giải Bài 4 Đề thi thử trường THPT chuyên Đà Nẵng

Lời giải bài 4:

Đề ra : 

Cho đường tròn (O), M là một điểm nằm ngoài đường tròn (O). Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) với A, B là các tiếp điểm; MPQ là một cát tuyến không đi qua tâm của đường tròn (O), P nằm giữa M và Q. Qua P kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB, AQ tương ứng tại R, S. Gọi trung điểm đoạn PQ là N. Chứng minh rằng:

a. Các điểm M, A, N, O, B cùng thuộc một đường tròn, chỉ rõ bán kính của đường tròn đó.

b.  PR = RS.

Lời giải chi tiết :

a.

Ta có : 

• $\widehat{MAO}=90^{\circ}$   ( góc giữa tiếp tuyến với bán kính đi qua tiếp điểm )
• $\widehat{MBO}=90^{\circ}$

=>  A , N ,B  cùng nhìn MO dưới 1 góc vuông .

Vậy 5 điểm M, A, N, O, B cùng thuộc đường tròn bán kính $\frac{MO}{2}$ .

b.

Tứ giác MANB nội tiếp   =>  $\widehat{AMN}=\widehat{ABN}$    (1)

Mặt khác : $OA\perp PS,OA\perp MA=> PS//MA$

=>   $\widehat{AMN}=\widehat{RPN}$       (2)

Từ (1) , (2)  =>   $\widehat{ABN}=\widehat{RPN}$ 

<=>   $\widehat{RBN}=\widehat{RPN}$ 

=>  Tứ giác PRNB nội tiếp  <=>   $\widehat{BPN}=\widehat{BRN}$     (3)

Ta lại có :   $\widehat{BPN}=\widehat{BAQ}$     (4)

Từ (3) , (4)  =>   $\widehat{BRN}=\widehat{BAQ}=> RN//SQ$ 

Và N là trung điểm của PQ => RN là đường trung bình của tam giác SPQ 

=>   PR = RS.     ( đpcm )