Giải câu 7 trang 34 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, Với $a>0,b>0,a\neq b,a+b\neq a^{2}$ ta có:

P = $\frac{a^{3}-a-2b-\frac{b^{2}}{a}}{(1-\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{b}{a^{2}}})(a+\sqrt{a+b})}:(\frac{a^{3}+a^{2}+ab+a^{2}b}{a^{2}-b^{2}}-\frac{b}{a-b})$ 

   = $\frac{a^{3}-a-2b-\frac{b^{2}}{a}}{(1-\sqrt{\frac{a+b}{a^{2}}})(a+\sqrt{a+b})}:(\frac{a^{2}(a+b)+a(a+b)}{(a+b)(a-b)}+\frac{b}{a-b})$

   = $\frac{a^{3}-a-2b-\frac{b^{2}}{a}}{(1-\frac{\sqrt{a+b}}{a})(a+\sqrt{a+b})}:(\frac{a(a+b)(a+1)}{(a-b)(a+b)}-\frac{b}{a-b})$ 

   = $\frac{a^{3}-a-2b-\frac{b^{2}}{a}}{\frac{a-\sqrt{a+b}}{a}(a+\sqrt{a+b})}:(\frac{a(a+1)}{a-b}-\frac{b}{a-b})$

   = $\frac{a^{4}-a^{2}-2ab-b^{2}}{a^{2}-(a+b)}:\frac{a^{2}+a+b}{a-b}$=$\frac{a^{4}-(a+b)^{2}}{a^{2}-a-b}.\frac{a-b}{a^{2}+a+b}$

   = $\frac{(a^{2}-a-b).(a^{2}+a+b)}{a^{2}-a-b}.\frac{a-b}{a^{2}+a+b}=a-b$

=> Điều phải chứng minh.

b, Khi P = 1 và a$^{3}$ - b$^{3}$ = 7 ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}a-b=1 &  & \\ a^{3}-b^{3}=7 &  &\end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix}a-b=1 &  & \\ a^{2}+ab+b^{2}=7 &  &\end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix}a=b+1 &  & \\ (b+1)^{2}+(b+1)b+b^{2}=7 &  &\end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}a=b+1 &  & \\ 3b^{2}+3b-6=0 &  &\end{matrix}\right.$

Ta có: $3b^{2}+3b-6=0$ <=> (b - 1)(b + 2) = 0 <=> b = 1 hoặc b = -2 (không thỏa mãn b > 0).

Với b = 1 => a = 2

Vậy (a; b) = (2; 1)